Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

"...mert ez érthető módon igaz a valós számokra is!"

Ezt ha kifejtenéd bővebben, megköszönném.

"Vagy mégis csak felhasználtam.....?"

Igen. Amikor eltüntetted a zárójeleket és amikor visszatetted őket. De ha észreveszed, nem a (06)-ra irányult a kérdésem.

"Hiszen csoportokkal meg halmazokkal, meg mindenféle bonyolult dologgal lehet csak bizonyítani!"

Amikor először a linkelt pdf-ből idéztem utána összesen 9 fogalmat soroltam fel, amiből 2 nem kimondottan matematikai (axióma, axiómarendszer) 3-at pedig elvileg ismerned kell középiskolából (halmaz, halmaz eleme, részhalmaz), azaz csak 4 új fogalom vár elsajátításra. Ha esetleg mégis mindegyik teljesen új és bonyolult, akkor sem hiszem, hogy az azóta eltelt idő nem lett volna elegendő ahhoz, hogy megértsd őket. Nem biztos, hogy érthetően, de ezután igyekeztem elmagyarázni, hogy mit is jelent az idézet. Ezeken kívül csak a 3.6. definíció tanulmányozása szükséges a 3.7. (+ asszociatív) és 3.9. (+ kommutatív) tételek megértéséhez.

"Amiket még egy matematikus sem próbálna meg..."

Ha itt erre célzol:

"...aminek a leírására és elmagyarázására itt nem vállalkoznék."

Egyrészt, a 69%-os válaszolóval ellentétben én nem vagyok matematikus. Másrészt a pdf-beli út elmagyarázásával megpróbálkoztam, a mondat egy másik szemszögből való közelítésre vonatkozik.

"... noha néhány zseni 400 évvel ezelőtt rájött ezekre!"

Ha itt a #61-es válaszomra gondolsz, fogalmakról nem pedig állításokról volt szó. (És egyébként sem 400-at írtam.)

"Azért ezekkel bizonyítsunk, mert én lehiszem, hogy zseni matematikusok csoportokkal meg halmazokkal is tudnák bizonyítani ezt, de hosszabb és bonyolultabb lenne, mint az én kétsoros bizonyításom!"

Valószínű, hogy ha azt mondod egy matematikusnak, hogy az általad adott 3 állításból vezesse le neked a disztributivitást, hasonlóan fog eljárni, ahogy te. (Talán még egy = jellel és pár b és c betűvel is rövidebb lesz a bizonyítása.)

"Tehát ha a fenti 3 állítást axiómának tekintjük, akkor bizony én bizonyítottam elemi matematikai ismeretekkel, hogy a*b + a*c = a*(b+c) !"

Ha kimondjuk axiómaként amiket adtál, és van valami homályos intuitív képünk a bizonyításról, nem is szükséges több ismeret a disztributivitás belátására.

(Egyébként eddig elemi algebrai ismeretekről volt szó, ami nem egyenlő az elemi matematikai ismeretekkel. Továbbá bármelyik hosszú válaszomat nézed, egyik sem a disztributivitásról szól.)

"Ebből, és az előző axiómákból, meg a*(b+c)=ab+ac -ból lehet bizonyítani, hogy a*b=b*a"

Ha továbbra is megmaradunk a pozitív egész számoknál (a 0 nem az), akkor ez igaz, és én személy szerint a bizonyításokat is elfogadnám.

----------------------

Most hogy egy picit rendeződni látszanak a dolgok, javaslom megismerésre a premissza és konklúzió fogalmakat. Ezután azok lennének a kérdéseim, hogy szerinted miért javasoltam ezt, valamint, hogy mi a különbség az axióma és a premissza között.

"Igaz továbbra is? Igen."

Az, hogy mi igaz és mi nem, egy igen érdekes - és szintén bonyolult - témakör. Egy matematikus szempontjából viszont, talán mégis inkább jelentéktelen. Célszerűbb lenne módosítanunk a kérdéseden és inkább azt feltenni: levezethető a megadott axiómákból? Ha így kérdezzük, akkor a válasz nem. Mégpedig azért nem, mert ugyan bebizonyítottad, hogy a szorzás disztributív az összeadásra nézve, de a felhasznált szorzásdefiníció a pozitív egész számokra vonatkozik. Ha ez nem lenne elég, nem heccből írtam a #68-as választ, és nem véletlenül hangsúlyozom, hogy "Ha továbbra is megmaradunk a pozitív egész számoknál...". Nem csak a szorzás definíciója szól bele a dologba, de még te magad is csak a természetes számokat engedted meg az a, b, c betűk helyére helyettesíteni (#69 első mondat) - amik közül én még kizártam a 0-t is óvatosságból, mert a linkedben a 0-val való szorzás nincs definiálva.

"Hihetetlen, hogy olyan állítások, mint hogy pl. a+b=b+a nem idősebb mint 200-300 év!"

"Ha itt a #61-es válaszomra gondolsz, fogalmakról nem pedig állításokról volt szó."

A kommutativitás fogalma nem egyenlő azzal az állítással, hogy a + b = b + a. A könyv fogalma nem egyenlő azzal a könyvvel ami éppen hozzád a legközelebb esik. Nem egyenlő egyik könyvvel sem. Tetszőleges számú példát felhozhatnánk mindkét fogalomra és mondhatnánk, hogy a felhozott példákra igaz az, hogy kommutatív vagy hogy könyv, de a kommutatívságból vagy a könyvségből csak egy van. (Persze ez sincs így, mert ki mit ért ezek alatt. Lehetséges olyan eset, hogy két teljesen máshogy gondolkozó embernek, két teljesen más dolog jut az eszébe ugyanazt hallva/látva.) Egyébként pedig, meglepődnél ha tudnád mennyi minden "nem is olyan régi".

( [link] )

"milyen fura! Hogy a leg alapvetőbb triviális dolgoktól a szuperbonyolult egyenletekig mindent 200-300 év alatt számolta ki."

A matematika nem egészen úgy fejlődött, ahogy jelenleg felépítjük. Mint ahogy már írtam, nem a legmegbízhatóbbak a történeti ismereteim, de az a fajta hihetetlenül szigorú precizitás ami ma jelen van, talán a múlt század elején volt kialakulóban. Nem akarok hülyeséget mondani, úgyhogy ebben a témában inkább a következő könyvet ajánlom: Sain Márton - Nincs királyi út!

"Akármelyik betű lehet nulla, az egyenlet akkor is igaz lesz!"

Itt visszautalnék az első bekezdésemre.

"Csak ha azt mondod, hogy ez az egyenlőség nem igaz mindegyik valós szám esetében, és utána valami oknál fogva megemlíted a nullát, akkor azt hittem arra is vonatkozik."

Most én nem tudom, hogy mire gondolsz.