Kezdőoldal » Tudományok » Alkalmazott tudományok » Hogyan lehet bebizonyítani...

Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

Figyelt kérdés
Mert az ember alapból tudja, hogy így van. De mégis, valamilyen számítást elvégez a fejében, akaratlanul is, ami következtében "érzi", hogy az összeadásban a tagok felcserélhetőek és csoportosíthatóak! De hogyan lehetne levezetve matematikailag is bizonyítani, hogy összeadásnál a tagok felcserélhetőek, akármennyi is van belőlük, és bárhogy csoportosíthatóak, akármennyi is van belőlük? Sőt, felcserélhetők és csoportosíthatók is egyszerre!
2017. aug. 4. 13:24
❮❮ ... 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... ❯❯
 61/147 anonim ***** válasza:

"Hiszen végül is akkor is bizonyították őket, amikor még nem voltak csoportok meg testek meg ilyesmik az algebrában. Nyilván már az ókorban is tudták, hogy ez így van, és nyilván azért, mert általánosságban bizonyítva voltak."


Valószínűleg nem bizonyítottak ilyeneket az ókorban. Nem ismerem kellően a matematikatörténetet ahhoz, hogy alá tudjam támasztani amit mondok, de szerintem az asszociativitás és a kommutativitás fogalmak nem sokkal öregebbek, mint mondjuk a csoport vagy a test. Ezek pedig nem idősebbek 200-300 évnél.

2017. aug. 16. 18:45
Hasznos számodra ez a válasz?
 62/147 A kérdező kommentje:
tehát az ókorban és a középkorban nem ismerték, hogy a*b=b*a? Meg a+b=b+a? Nyilván tudták, hogy így van,hiszen már az ókorban is komoly matematikai műveleteket végeztek el!
2017. aug. 16. 18:53
 63/147 anonim ***** válasza:

"Nyilván tudták, hogy így van,hiszen már az ókorban is komoly matematikai műveleteket végeztek el!"


Ugyanilyen alapon az ősemberek is nyilván tudták, hogy milyen konkrét fizikai és kémiai folyamatok mennek végbe, amikor valaki tüzet gyújt, hiszen használtak tüzet.

2017. aug. 16. 19:13
Hasznos számodra ez a válasz?
 64/147 A kérdező kommentje:
Hogyha bizonyítani akarunk egy egyenlőséget, akkor miért nem megfelelő az, hogy az egyenlet egyik felét átalakítjuk a másik felére? Ez miért nem elfogadható bizonyításnak?
2017. aug. 16. 19:30
 65/147 anonim ***** válasza:

"Hogyha bizonyítani akarunk egy egyenlőséget, akkor miért nem megfelelő az, hogy az egyenlet egyik felét átalakítjuk a másik felére? Ez miért nem elfogadható bizonyításnak?"


Mit jelent az, hogy egyenlőség? Mit jelent az, hogy egyenlet? Mi az, hogy átalakítjuk az egyenlet egyik felét a másik felére? Mi az, hogy bizonyítás? Mikor van bebizonyítva valami? Konkrétabban: te mit értesz mindezek alatt?

2017. aug. 16. 20:21
Hasznos számodra ez a válasz?
 66/147 A kérdező kommentje:

Oké, akkor konkrétabb leszek:


Bizonyítsuk, hogy a*(b+c)=a*b + a*c


Én azt mondom, hogy vegyük axiómának, hogy a+b=b+a

Illetve ha ismerjük a szorzás definícióját: [link]


Akkor ez esetben:


a*b + a*c = (b+b+...+b) + (c+c+...+c) = b+b+...+b+c+c+...+c = b + c + b + c + ... + b + c = b + c + b + c + ... + b + c = (b+c) + (b+c) + ... + (b+c) = a*(b+c)


Az egyes összeadásoknál "a" db-szor adunk össze!


Na, ez a bizonyítás elméletileg nem jó, pedig egyértelműen levezettem az a+b=b+a axióma segítségével és a szorzás definíciójával, hogy a*(b+c)=a*b + a*c , vagy éppen a*b + a*c = a*(b+c)

2017. aug. 16. 21:56
 67/147 A kérdező kommentje:

Volt egy egyenletünk, ez:


a*(b+c)=a*b + a*c


Ennek az egyik felét átalakítottam a másik felére. Ez a megoldás miért nem jó?

2017. aug. 16. 21:57
 68/147 anonim ***** válasza:
mielőtt válaszolok még lenne egy kérdésem: a, b és c melyik számhalmaznak az elemei?
2017. aug. 16. 23:19
Hasznos számodra ez a válasz?
 69/147 A kérdező kommentje:
A természetes számoké. Aztán az, hogy a*(b+c) egyenlő a*b + a*c -vel, öröklődik a valós számok halmazára is. mert értem én, hogy ha törtszámról van szó, akkor a b+b+...+b nem lehetséges, hiszen nekünk is "törtször" kéne a "b"-t leírni. Ehelyett "a"-szor írtam le. De szerintem egyértelmű, hogy ha igaz a természetes számokra, akkor igaz a valós számokra is. Ezt fogadjuk el axiómának. Hogy ha ez igaz a természetes számok esetén, akkor nyilván igaz a valós számok esetén is. Tehát elég csak a természetes számokra bizonyítanunk. A kérdés tehát az, hogy jó-e a bizonyítás a természetes számokra? Mert lehet, hogy valaki azt mondja, hogy "Nem, hiába alakítottad át az egyenlet egyik felét a másikra, csupán axiómák alkalmazásával, az még nem elég bizonyításnak, mert..." Na, és itt vagy nem értem, vagy nem válaszol, és nem tudom meg, hogy miért is nem jó bizonyításnak, hogyha az egyenlet egyik felét átalakítom a másikra.
2017. aug. 16. 23:27
 70/147 anonim ***** válasza:

Először is:


vegyük úgy, hogy a és b egyike sem 0, mert amit linkeltél abban "a és b pozitív egész számokat jelentenek", valamint "ha a pozitív egész számok halmazán kívül első tagokkal akarjuk elvégezni a szorzást, akkor e művelet értelmezését módosítanunk kell". (Az első nyilván elírás és eső akar lenni.)


Ebben az esetben,


ha az a + b = b + a mellé felvesszük axiómának, hogy a + (b + c) = (a + b) + c, és bizonyítjuk teljes indukcióval (vagy esetleg szintén axiómaként mondjuk ki), hogy egy tetszőleges n (n pozitív egész) tagú összeg tagjai is felcserélhetőek és bárhogy csoportosíthatóak, akkor az okoskodásod helytálló. (Feltéve persze, hogy a (, ), +, *, = szimbólumok az általános és középiskolában megszokott jelentéssel bírnak.)


Másodszor:


Általánosan: Egyáltalán nem nyilvánvaló/egyértelmű/triviális hogy ha egy tulajdonság igaz a természetes számokra, akkor igaz az egész számokra, ..., valós számokra. Erre két példa: 1. van legkisebb természetes szám, de nincs legkisebb egész. 2. minden egész számnak van rákövetkezője, azonban bármely két valós szám között találunk harmadikat.

Konkrétan: [link]


Harmadszor:


Eredetileg azt szeretted volna bizonyítani, hogy a valós számok az összeadásra nézve asszociatívak és kommutatívak. Amit most írtál az nem a valós számokra és nem a kommutativitásra vagy asszociativitásra vonatkozik. Azt, hogy miért nem a valós számokról van szó értem, hogy miért a disztributivitás került a középpontba kevésbé.


Negyedszer:


Van nekünk egy axiómarendszerünk:


Minden a, b, c pozitív egészre


(01) a + b pozitív egész;

(02) a + b = b + a;

(03) a + (b + c) = (a + b) + c;

(04) tetszőleges n (pozitív egész) tagú összeg tagjai szabadon felcserélhetőek;

(05) tetszőleges n (pozitív egész) tagú összeg tagjai szabadon csoportosíthatóak;

(06) a*(b + c) = a*b + a*c.


Tudnád-e ebből bizonyítani az előbbihez hasonló módon a kommutativitást és asszociativitást úgy, hogy nem használod fel a (02)-(05) pontokat? (Ez ugyanaz, mintha azt kérdezném, hogy a csak a (01) és (06) pontokból álló axiómarendszerből le tudnád-e vezetni az asszociativitást és kommutativitást.)


Végül:


Igazad van. Lehet, hogy valaki azt mondja, hogy "Nem, hiába alakítottad át az egyenlet egyik felét a másikra, csupán axiómák alkalmazásával, az még nem elég bizonyításnak, mert...", viszont ahogy én látom, múlt időben nem történt ilyen. Bizonyára az általam is megvetett 69%-os válaszolóra gondolsz, azonban még ő sem írt ilyet.

2017. aug. 17. 01:08
Hasznos számodra ez a válasz?
❮❮ ... 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ... ❯❯

Kapcsolódó kérdések:




Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu

A weboldalon megjelenő anyagok nem minősülnek szerkesztői tartalomnak, előzetes ellenőrzésen nem esnek át, az üzemeltető véleményét nem tükrözik.
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!

Adataid védelme fontos számunkra!

Mint a weboldalak többsége az interneten, honlapunk működéséhez és célzott hirdetések megjelenítéséhez mi és hirdetési partnereink is cookie-kat tárolunk az általad használt eszközön. Ahhoz, hogy ezt megtehessük, a hozzájárulásod szükséges. Erről az adatvédelmi tájékoztatónkban részletes információkhoz juthatsz, illetve bizonyos cookie-k használatával kapcsolatban további lehetőségeid vannak.