Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

"Hiszen végül is akkor is bizonyították őket, amikor még nem voltak csoportok meg testek meg ilyesmik az algebrában. Nyilván már az ókorban is tudták, hogy ez így van, és nyilván azért, mert általánosságban bizonyítva voltak."

Valószínűleg nem bizonyítottak ilyeneket az ókorban. Nem ismerem kellően a matematikatörténetet ahhoz, hogy alá tudjam támasztani amit mondok, de szerintem az asszociativitás és a kommutativitás fogalmak nem sokkal öregebbek, mint mondjuk a csoport vagy a test. Ezek pedig nem idősebbek 200-300 évnél.

"Nyilván tudták, hogy így van,hiszen már az ókorban is komoly matematikai műveleteket végeztek el!"

Ugyanilyen alapon az ősemberek is nyilván tudták, hogy milyen konkrét fizikai és kémiai folyamatok mennek végbe, amikor valaki tüzet gyújt, hiszen használtak tüzet.

"Hogyha bizonyítani akarunk egy egyenlőséget, akkor miért nem megfelelő az, hogy az egyenlet egyik felét átalakítjuk a másik felére? Ez miért nem elfogadható bizonyításnak?"

Mit jelent az, hogy egyenlőség? Mit jelent az, hogy egyenlet? Mi az, hogy átalakítjuk az egyenlet egyik felét a másik felére? Mi az, hogy bizonyítás? Mikor van bebizonyítva valami? Konkrétabban: te mit értesz mindezek alatt?

Először is:

vegyük úgy, hogy a és b egyike sem 0, mert amit linkeltél abban "a és b pozitív egész számokat jelentenek", valamint "ha a pozitív egész számok halmazán kívül első tagokkal akarjuk elvégezni a szorzást, akkor e művelet értelmezését módosítanunk kell". (Az első nyilván elírás és eső akar lenni.)

Ebben az esetben,

ha az a + b = b + a mellé felvesszük axiómának, hogy a + (b + c) = (a + b) + c, és bizonyítjuk teljes indukcióval (vagy esetleg szintén axiómaként mondjuk ki), hogy egy tetszőleges n (n pozitív egész) tagú összeg tagjai is felcserélhetőek és bárhogy csoportosíthatóak, akkor az okoskodásod helytálló. (Feltéve persze, hogy a (, ), +, *, = szimbólumok az általános és középiskolában megszokott jelentéssel bírnak.)

Másodszor:

Általánosan: Egyáltalán nem nyilvánvaló/egyértelmű/triviális hogy ha egy tulajdonság igaz a természetes számokra, akkor igaz az egész számokra, ..., valós számokra. Erre két példa: 1. van legkisebb természetes szám, de nincs legkisebb egész. 2. minden egész számnak van rákövetkezője, azonban bármely két valós szám között találunk harmadikat.

Konkrétan: [link]

Harmadszor:

Eredetileg azt szeretted volna bizonyítani, hogy a valós számok az összeadásra nézve asszociatívak és kommutatívak. Amit most írtál az nem a valós számokra és nem a kommutativitásra vagy asszociativitásra vonatkozik. Azt, hogy miért nem a valós számokról van szó értem, hogy miért a disztributivitás került a középpontba kevésbé.

Negyedszer:

Van nekünk egy axiómarendszerünk:

Minden a, b, c pozitív egészre

(01) a + b pozitív egész;

(02) a + b = b + a;

(03) a + (b + c) = (a + b) + c;

(04) tetszőleges n (pozitív egész) tagú összeg tagjai szabadon felcserélhetőek;

(05) tetszőleges n (pozitív egész) tagú összeg tagjai szabadon csoportosíthatóak;

(06) a*(b + c) = a*b + a*c.

Tudnád-e ebből bizonyítani az előbbihez hasonló módon a kommutativitást és asszociativitást úgy, hogy nem használod fel a (02)-(05) pontokat? (Ez ugyanaz, mintha azt kérdezném, hogy a csak a (01) és (06) pontokból álló axiómarendszerből le tudnád-e vezetni az asszociativitást és kommutativitást.)

Végül:

Igazad van. Lehet, hogy valaki azt mondja, hogy "Nem, hiába alakítottad át az egyenlet egyik felét a másikra, csupán axiómák alkalmazásával, az még nem elég bizonyításnak, mert...", viszont ahogy én látom, múlt időben nem történt ilyen. Bizonyára az általam is megvetett 69%-os válaszolóra gondolsz, azonban még ő sem írt ilyet.