Segítene valaki ezt bebizonyítani teljes indukcióval és elmagyarázni azt amit csinált?

Sn+n+1=(n+1)(n+2)/2

Sn=[(n+1)(n+2)-2(n+1)]/2=n(n+1)/2

Bizonyítható teljes indukcióval is.

Az eredeti egyenlet, kicsit kezelhetőbb jelöléssel:

(Sₘ)² = (m*(m+1)/2)²

Most nézzük, hogy mi a helyez, ha:

n = m+1

A bal oldal így alakul: Sₙ² = (Sₘ+n)² = (Sₘ+(m+1))²

A jobb oldal négyzet alatti része meg így:

n*(n+1)/2 =

(m+1)*(m+2)/2 =

[ m*(m+1) + 2 * (m+1) ] / 2 =

m*(m+1)/2 + 2*(m+1)/2

m*(m+1) + (m+1)

Látható, hogy mindkét esetben a négyzet alatti szám ugyanúgy (m+1)-el nőtt, tehát ha az összefüggés igaz volt m-re, akkor igaz lesz m+1-re is.

Nézzük meg, mi a helyzet m=1 esetén:

1² = [1*(1+1)/2]²

1 = (1*2/2)²

1 = 1²

1 = 1

Tehát m=1 esetén az egyenlőség fennáll. Mivel bizonyítottuk, hogy ha fennáll m-re, akkor m+1-re is fennáll, így fennáll m=2 esetén is az egyenlőség. Ha m=2 esetére fennáll, akkor fennáll m=3 esetére is, stb…

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Bizonyítható persze teljes indukció nélkül is:

(1+2+3+...+n)^2=(n*(n+1)/2)^2

Mindkét oldal olyan szám négyzete, ami szükségszerűen pozitív. n>0, ergo a bal oldalon csupa pozitív számot adunk össze, a jobb oldalon meg pozitív számok szorzata és hányadosa van. Ergo mindkét oldalból lazán vonhatunk gyököt:

1+2+3+...+n = n*(n+1)/2

Ez megy így egyszerűen a számtani sorozat összegképlete. Hogy ez hogyan jön ki?

Vegyünk bármilyen számtani sort, mondjuk ezt:

3, 5, 7, 9, 11, 13, 15

Oké, most mindegyik szám alá írjuk oda a számtani sor számait visszafele:

15, 13, 11, 9, 7, 5, 3

Most így az egymás alá kerülő számokat adjuk össze páronként:

3+15, 5+13, 7+11, 9+9, 11+7, 13+5, 15+3 =

18, 18, 18, 18, 18, 18, 18 = 7*18

Az első pár a legkisebb és legnagyobb elem összege: a[1] + a[n]

A második pár egyik tagja d-vel (2-vel) nagyobb, mint az első szám, a pár második tagja d-vel (2-vel) kisebb, mint a legnagyobb szám összege. Így a pár összege: a[2] + a[n-1] = a[1]+d+a[n]-d = a[1]+a[n]

A harmadik párnál dettó: a[3] + a[n-2] = a[1] + 2*d + a[n] - 2*d = a[1]+a[n]

Az i. párnál: a[i] + a[n-i-1] = a[1] + (i-1)*d + a[n] - (i-1)*d = a[1] + a[n]

Tehát mindegyik páros ugyanazt az eredményt adja: a[1] + a[n].

Az egész n darab számpárból áll, hiszen n darab számból áll az eredeti sorozat is, tehát a párosok összegeit is összeadva ezt kapjuk: n * (a[1]+a[n])

Mivel ebben a teljes összegben kétszer szerepel a sorozat minden eleme (egyszer oda irányban, másszor vissza irányban felírva), a számtani sor összege ennek pont a fele lesz: n*(a[1]+a[n]) / 2

Jelen esetben egy olyan számtani sorról van szó, ahol a[1]=1 és d=1, ergo a[n] = a[1]+d*(n-1) = 1 + 1*(n-1) = 1+ n -1 = n.

Ergo az n*(a[1]+a[n])/2 képletbe behelyettesítve ezt kapjuk: n*(1+n)/2 = n*(n+1)/2