Hogyan tudnám bebizonyítani hogy minden konvergens valós számsorozat korlátos?

Ha an-->a, akkor |an-a|-->0. Akkor egy m indextől kezdve |an|<K. Továbbá a köv. ellenpéldát szokták felhozni:

an=(-1)^n |an|=1 és ugyanakkor a két torlódási pont miatt nem konvergens. Sz. Gy.

Induljunk onnan, hogy tekintsük az (R,d) metrikus teret, ahol d R szokásos metrikája.

Tekintsünk ebben egy (x_n) konvergens pontsorozatot, amely egy x ponthoz konvergál. Mivel d(x_n, x)->0, diam(x_n) véges, ezért x_n korlátos.