A szum 1/n sor miért dovergens, a szum 1/n^2 meg miért konvergens?

> „Nem értem egyszerűen. 1/n sorozat szig mon csökkenő, így a tagjaik összeadásánál bár egyre nagyobb lesz az érték, de egyre kevésbé nagyobb nem?”

Ezt az a sorozat is tudja, hogy 1/2+1/2, 1/2+1/4, 1/2+1/8, … Ez is szigorúan monoton csökkenő, a tagjai összeadásánál bár egyre nagyobb lesz az érték, de egyre kevésbé nagyobb, nem? De.

Itt van egy fejtegetés is ebben a témában: [link]

> „Mondjuk pl a 100-at hogy lépheti át?”

[link]

Itt le van írva.

> „…a szum 1/n^2 meg miért konvergens?”

Mert ez elég gyorsan csökken. Részletesen lásd itt:

[link]

n = 15092688622113788323693563264538101449859497-nál lépi át a 100-at az összeg:

[link]

Érdekes, hogy szum 1/n = végtelen, de szum 1/n^1.001 még az 1001-et sem éri el, pedig nem(?) sok a különbség. :D

E sorok konvergenciaproblémája (mivel az 1/n és az 1/n^2 sor is nyilvánvalóan szigorúan monoton csökkenő, valamint pozitív tagú) vizsgálható integrálkritériummal is: egy improprius integrál konvergenciája lesz most már a kérdés (a kapcsolat oda-vissza igaz).

1) INT (1->végtelen) 1/x dx=[ln x] (1->végtelen). A természetes alapú logaritmusfüggvény szigorúan monoton növekedő, így értéke végtelenben végtelen (ln 1=0, ezzel nincs gond). Ez az integrál tehát divergens, ezért az 1/n sor is az.

2) INT (1->végtelen) 1/x^2 dx=[-1/x] (1->végtelen). Ez azonban már konvergens (mert értéke 1), ezért az 1/n^2 sor is az. Hangsúlyozni kell azonban, hogy ez nem a sor összege!

Valóban, az egy szemléletes megfogalmazás lehet, hogy ha nem tart "elég gyorsan" 0-hoz az általános tag, akkor nem lesz konvergens a sor. Az általános tag 0 határértéke egyébként is csak szükséges, de nem elégséges feltétele a konvergenciának. Az integrálkritérium viszont konvergenciakritérium.