Hogyan lehet bebizonyítani, hogy a racionális számok nem lehetnek végtelen sok, nem periodikusan ismétlődő számjegyből álló tizedestörtek?
Persze, egy irracionális szám nem írható föl két egész szám hányadosaként. De azt mivel lehet bizonyítani, hogy két egész szám hányadosával nem lehet végtelen sok, nem periodikusan ismétlődő számjegyből álló tizedestörtet leírni?
Pl. azt mondom, hogy 333/777
Na ez mennyi? Persze, racionális szám. Azaz vagy van utolsó számjegye, vagy ha nincs, akkor van egy periódus, amit a végtelenségig követ. Hogy az imént említett racionális számra melyik igaz, azt nem tudom. De a lényeg, hogy egyrészt ez esetben hogyan lehet ne megállapítani, hogy melyik igaz rá, másrészt mi van, hogyha ez is ugyanúgy végtelen sok nem periodikusan ismétlődő számból áll? Attól, hogy két egész szám hányadosa, az mivel bizonyítja azt, hogy nem lehet olyan, mint egy irracionális szám, azaz végtelen hosszú, és nem periodikus?
válasza:A kérdés tehát az, miként igazolható, hogy egy racionális szám nem lehet végtelen sok, nem periodikusan ismétlődő számjegyből álló tizedestört.
A bizonyítás indirekt. Azt mutatjuk meg, hogy minden racionális szám véges, vagy periodikusan ismétlődő végtelen tizedestört.
Minthogy racionális szám két egész hányadosa, így a nevező egy véges szám. Amikor az osztást végezzük, lesz egy szám, a maradék. Ez mindig kisebb, mint a nevező. Ebből következik, hogy egy osztási sorozat (a tizedesek kiszámolása) vagy véget ér maradék nélkül, vagy lesz egy véges (a nevezőnél kisebb) értékű maradék. Ezért az osztások során előbb utóbb ismét előkerül ugyanaz a maradék, innentől az előbbi sorozat ismétlődik.
Tehát minden racionális számban a periódushossz legfeljebb az eredeti nevező értékének megfelelő lehet. És az ismétlődhet végtelenszer.
válasza:@14:46
Grat, nagyon frappáns! :-)
"Ebből következik, hogy egy osztási sorozat (a tizedesek kiszámolása) vagy véget ér maradék nélkül, vagy lesz egy véges (a nevezőnél kisebb) értékű maradék."
Eddig még világos.
"Ezért az osztások során előbb utóbb ismét előkerül ugyanaz a maradék, innentől az előbbi sorozat ismétlődik."
Miért kerülne elő ugyanaz a maradék? Ezt itt másképpen el tudnád magyarázni?
"Tehát minden racionális számban a periódushossz legfeljebb az eredeti nevező értékének megfelelő lehet."
Tehát hogyha a nevező 5, akkor 5 számjegyű lehet a periódus? vagy hogy érted?
"És az ismétlődhet végtelenszer."
De miért? Miért kéne végtelenszer ismétlődnie?
válasza:Azért, mert pl. a 777 csak 777 különböző maradékot adhat (0-tól 776-ig). Ha 0 maradékot ad, akkor ott vége az osztásnak, illetve a végtelenségig lehet folytatni, és csupa 0 lesz a vége. Ha nem 0-t ad, akkor 1-776-ig ad maradékot, és ha feltesszük, hogy már mindegyik maradék volt, a következő osztásnál már csak az lehet, ami már egyszer előfordult, onnantól pedig a hányadosok és a maradékok ugyanúgy fogják követni egymást.
Viszont ebből következik, hogy a periódushoz nem legfeljebb annyi, amennyi a nevező, hanem vagy végtelen (ha végtelen sok 0-ra végződik, ez a véges eset), vagy nevező-1 (ez a végtelen eset).
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!