Megadható-e a síkon végtelen sok pont úgy, hogy bármely négy olyan négyszöget határoz meg, melynek van racionális és irracionális oldala is? És hogyan?

igen, az R(4,4)=18 ra gondolok.

Tegyük fel, hogy adva van 18 pont akárhogy a síkon, akkor az összes pont között behúzunk egy élet, kéket, ha irracionális a távolságuk, és pirosat, ha racionális. Tehát kaptunk egy teljes 18szöget, aminek az éleit két színnel színeztük. Akkor ebben lesz egy egyszínű teljes 4es, pl. kék. Akkor ez 4 olyan csúcsot ad, hogy bármely kettő távolsága irracionális, tehát sehogy sem tudsz olyan négyszöget rárajzolni, amiben lenne racionális oldal.

Egyébként itt látszik egy kis pontatlanság a feladat szövegében, mivel 4 pont nem feltétlenül határoz meg egyértelműen egy négyszöget (ha nem konvex helyzetben vannak, akkor 3 fajta négyszöget is meghatározhatnak ).

De ha csak a konvex helyzetű négyeseket akarjuk nézni, akkor sem lesz ilyen, hiszen ha eleve egy köríven veszed fel a 18 pontot, akkor abból következik, hogy a megkapott egyszínű négyes is konvex helyzetű lesz.