Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

"Én úgy tudom, hogy a természetes számok közé a nulla is beletartozik!"

"(P1) N nemüres halmaz és van egy 0 ∈ N kitüntetett eleme."

"(P1)...és van egy 0 ∈ N kitüntetett eleme."

Vagyis 0 ∈ N, azaz a természetes számok közé a nulla is beletartozik.

"Vezessük be a következő jelölést: 1 = 0'." (Először is: ez és ami utána még az idézőjelen belül van a 39-es hozzászólásomban nem a 3.6. definíció része, elrontottam, hogy bemásoltam.)

Az 1 jelölés bevezetésének mintájára, bevezethetjük a 2, 3, 4, 5 ... jelöléseket. Pl.: 7 = 0''''''. Az n-ből és '-ból álló n' szimbólum, ahogy írtam, n rákövetkezőjét jelenti (n egy tetszőleges eleme N-nek). Világos, hogy egy szám nem egyenlő a rákövetkezőjével. (Ha mégsem, a 3.5. állítás éppen ezt mondja ki, ami bizonyításra is kerül.)

A (P3)-ban nem az olvasható, hogy nincs olyan n ∈ N, hogy n = 0, hanem az, hogy nincs olyan n ∈ N, hogy n' = 0. Tehát a 0 nem egyenlő egyik számmal sem helyett (P3) azt jelenti: a 0 nem rákövetkezője egy számnak sem. Ha az előbbit jelentené, (P1) és (P3) ellentmondana egymásnak, ami bizony baj lenne.

Ehhez a részhez még annyit hozzáfűznék, hogy egyébként bármilyen szimbólummal jelölhetnénk nem csak a számainkat, de az N halmazt, a ' rákövetkezést, sőt még az = és ∈ karakterekkel jelölt relációkat is. Azonban - ugyan úgy, ahogy a természetes számoknál - valamiben meg kell állapodnunk, hogy meg tudjuk érteni egymást. Vannak bizonyos kialakult szokások, hogy mit hogyan jelölünk, de ez messze nem olyan merev, mint ahogy azt középiskolában gondolnánk. Különböző szerzők, különböző területeken, különböző dolgokat jelölnek ugyanazzal, vagy ugyanazokat különböző szimbólumokkal.

"Úgy tudom ezeknek nincs definíciójuk, mert nem lehet őket egyértelműen definiálni, csak "közelíteni"."

A halmaz és az elemének lenni, olyan problémákat vetnek fel, amiknek megoldása nem fér bele a középiskolai matematika keretébe, ezért kényelmesebb megállapodni abban, hogy ezek alapfogalmak. Használjuk őket, de nem ők vannak a vizsgálódásunk középpontjában. Hasonló a helyzet egy elemi algebrai átalakítás során: felhasználjuk a asszociativitást, mint tulajdonságot, de nem maga a tulajdonság a lényeges számunkra.

"m*(n+1) = m*n + m

Csakhogy itt már felhasználtuk az m(a+b) = m*a + m*b összefüggést! Mely összefüggést megint valahol bizonyítani kéne! "

Az

m*(n+1) = m*n + m

egyenlőség igaz, de nem azért, mert

m*(n+1) = m*n + m*1 = m*n + m,

azaz

m*(n+1) = m*n + m = m*n + m*1.

Ahhoz, hogy az

m*n + m*1 = m*n + m

egyenlőség igaz legyen, nyilván annak is igaznak kell lennie, hogy minden m ∈ N esetén m*1 = m. Mondhatnánk, hogy ezt "az ember alapból tudja, hogy így van", de ha az asszociativitást és kommutativitást be akarjuk bizonyítani, akkor ezt miért nem? Ez is legalább annyira fontos, mint a másik két tulajdonság. (A 3.13. tétel egyébként pont ezzel foglalkozik.)

Ahhoz, hogy

m*(n+1) = m*n + m

a következőképpen jutottunk el: definiáltuk a szorzást, úgy, hogy azt mondtuk, legyen m*n' = m*n + m; bevezettük az 1 jelölést; az összeadás definíciója pedig arra ösztönzött, hogy észrevegyük: n' = (n + 0)' = n + 0' = n + 1. Ezek után n'-t csak helyettesítettük az n + 1 kifejezéssel és kész is.

(Hallgatólagosan azt is felhasználtuk, hogy az egyenlőségnek van egy olyan tulajdonsága, hogy ha a = b, akkor b = a, és egy olyan is, hogy ha a = b és b = c, akkor a = c. Sőt, még azt sem mondtuk ki, hogy a betűk, szimbólumok helyére más betűket, szimbólumokat kifejezéseket helyettesíthetünk, vagy hogy egyáltalán milyen betűket és szimbólumokat használhatunk, és mit tekintünk kifejezésnek. Ha nagyon szigorúan vesszük, akkor ez hiba, mert sehol sincs szó arról, hogy amiket csináltunk azokat így szabad. Emiatt tehát további bizonyításokra lenne szükségünk. A kérdésed szempontjából viszont jobb, ha ilyen mélységig nem megyünk el. - Ha jobban belegondolsz, most is hasonló dolgot csinálunk, mint a halmaz és eleme esetében. Húztunk egy határt, hogy mi az, amivel nem foglalkozunk részletesen. Azért van erre szükség, mert ezt ha nem tennénk, egy idő után olyannyira eltérnénk a témától, hogy egy teljesen más kérdéskör közepén találnánk magunkat.)

Hm... Egyébként mielőtt komolyabb félreértés történne, a hozzászólások amiket én írtam:

#3, #4, #27, #28, #39, #42, #45.

"Nem értem. Nem értek semmit. Középiskolában elég valamit levezetni, meg az egyenlet egyik oldalát átalakítani a másik oldalára, és már kész is a bizonyítás. Itt nem, itt nem megfelelő ez a megoldás."

Ebben az esetben pontosan látszik egy nagyon nagy hibája a közoktatásnak: feltételezi, hogy az absztrakt gondolkodáshoz "meg kell érni", ezért a logikus felépítés helyett megpróbál a "mindenki számára nyilvánvaló" intuitív képek világában kialakítani készségeket. Ez egészen addig működik, amíg valakiben fel nem ébred a kíváncsiság egy konkrét kép iránt. Ekkor viszont, a már ismert fogalmak szintjénél egy fokkal magasabb absztrakciós szintről tekint a "mindenki számára nyilvánvaló" képekre, azonban mivel úgy van előadva, mintha csak az eddigi, számára megszokott világ létezne, teljesen összezavarodik.

Azt javaslom, mielőtt még egyszer átnézed és átgondolod, töprengj el azon, hogy mit is nevezünk bizonyításnak. Mit jelent, hogy bebizonyítunk valamit? Mi történik, amikor bizonyítunk? Mit bizonyítunk? Mikor és hol bizonyítunk? És egyáltalán miért bizonyítunk?

Ezen kérdéseken való elmélkedés után (szigorúan utána), még az újraolvasás előtt, a következő lépésnek ezt a cikket ajánlom elolvasásra:

[link]