Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

"Nem értem ezt a bizonyításos részt, de nagyon meg szeretném érteni!"

[link]

[link]

"A logika az érvényes következtetések és bizonyítások, illetve az ezzel összefüggő filozófiai, matematikai, nyelvészeti és tudományos módszertani kérdések tudománya."

Szóval tulajdonképpen egy egész tudományterület foglalkozik a bizonyítás fogalmával és a vele kapcsolatos problémákkal.

[link]

"Episztemológiai problémák

Mi a matematikai igazságok felismerésének módja? Milyen módon juthatunk el az igazsághoz?..."

"Metodológiai kérdések

Mik a matematikai érvelések elfogadott formái?..."

"Metamatematika – A matematika megalapozásának problémái

Mire épül a matematika? A logikára?...Miért pont azok az axiómák, amik?"

A probléma ami érdekel, igen összetett. Nemcsak - mint ahogy írtam - nincs általános jelölésrendszer, de az idézett kérdésekre sincs általánosan elfogadott válasz. Sőt! Magáról a matematikáról kialakult kép is emberenként, iskolánként, közösségenként eltérő lehet. Ezt persze nem úgy kell elképzelni, hogy ami valakinek a fekete szín, az másnak a fehér, de korántsem olyan statikus és egységes a matematika tudománya.

Példaként maradjunk továbbra is a természetes számoknál. Nagyon jó a felvetés, hogy miért igaz, hogyan bizonyítható, bizonyítható-e egyáltalán, hogy m + 0 = m. A linkelt pdf-ben ez az összeadás definíciójának része. Így az az állítás, hogy "Minden m természetes szám esetén az m + 0 = m egyenlőség fennáll." a 3.6. definíció szerint igaz. Nem az axiómákból lett levezetve, hanem úgy került a képbe, mint egy megállapodás. Tulajdonképpen abban állapodunk meg a definíció kimondásával, hogy ha egy olyan kifejezést látunk, ami úgy néz ki, hogy m + 0 és tudjuk, hogy az m egy természetes számot jelöl, akkor ez a kifejezés helyettesíthető m-mel, és fordítva. (Ha most azt mondom, hogy innentől kezdve a matematika szó helyett inkább csak annyit írok, hogy: (M); akkor mostantól a szövegben előforduló matematika és (M) karaktersorozatok bármikor bárhol felcserélhetőek, tudni fogod, hogy miről van szó.) Kérdés, hogy akkor most végül bizonyított, hogy m + 0 = m, vagy csak megállapodtunk benne, elfogadtuk bizonyítás nélkül? Nos, az állításunk inkább hasonlít egy axiómára mint tételre, mert csak annyit mondtunk, hogy legyen így, mindenféle bizonyítás nélkül. Ez a hasonlóság olyan mértékű, hogy ha az axiómarendszerünkre formalizált elméletként tekintünk, akkor - ugyan nem mondjuk meg, hogy mi az, hogy a természetes számok halmaza, vagy mik a természetes számok, de - az egyik axióma éppen a kérdéses m + 0 = m igazságát állítja minden m esetén, bármit is jelentsenek az m, +, 0, = szimbólumok. Innentől kezdve annak a vizsgálata, hogy valóban igaz-e, és hogy miért axióma, inkább logikai-filozófiai téma, mint matematikai.

Ugyanakkor, ha egy másik irányból közelítjük meg a kérdést, és a természetes számok struktúráját akarjuk valahogy felépíteni, akkor a pdf-ben kimondott axiómákból, a függvény és a függvény iteráltja fogalmak, valamint pár, az előbbiekre épülő tétel segítségével bizonyítható, hogy minden m ∈ N-re m + 0 = m. Ez viszont olyan út, aminek a leírására és elmagyarázására itt nem vállalkoznék. (Ha érdekel és igazán elszánt vagy, ajánlom Maurer I. Gyula és Virág Imre Bevezetés a struktúrák elméletébe c. könyvét.)

Attól függően tehát, hogy milyen szemüvegen keresztül vizsgálunk bizonyos fogalmakat, más és más válaszok érkezhetnek ugyanarra a kérdésre. Ez nem csak a példánk esetében, vagy csak a matematikán belül, hanem általában mindenhol így van.

A helyzet akkor sem változik, amikor a "Mi az az első olyan dolog a "középiskolás" algebra területén, ami nem axióma, tehát valahogy be kell bizonyítani? Mi az alapok alapja? Melyek az axiómák, amelyekből az egész középiskolás algebra levezethető (azaz bizonyítható)?" kérdéseket teszed fel. Az én kérdéseim: Melyik középiskolában? Milyen tagozaton? Ki tanítja? Kiknek? ... Nyilván attól függően, hogy milyen oktatási rendszerben, milyen intézményben, milyen tanár, milyen osztályt tanít változik, hogy mi bizonyítandó és mi nem. Hogy mégis válaszoljak, valószínűleg ez az ami a kérdéseid szempontjából a legkielégítőbb:

(Először is térjünk vissza a valós számokhoz, mert - ha azt vesszük alapul, ahova én jártam - középiskolában nagyjából csak annyi a számfogalom felépítése, hogy N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R és Q metszet Q* diszjunkt halmazok, egyesítésük pedig a valós számok halmazával egyenlő. Ezek után, ha mindenféle algebrai betűs kifejezésről egyenletről, bármi másról van szó, akkor a betűkre ki van kötve, hogy melyik számhalmaz tetszőleges eleme. Legtöbbször ez a valós számok halmaza.) Pár hozzászólással ezelőtt, szó volt róla, hogy R (a valós számok halmaza) test. Ez mit jelent?

A (M)-ban a test egy absztrakt algebrai fogalom. Az, hogy R test, a következőt jelenti:

Legyen R a valós számok halmaza, továbbá + és * a halmazon értelmezett összeadás és szorzás. Érvényesek az alábbiak:

R az összeadással Ábel-csoportot alkot;

R/{0} a szorzással csoport;

A szorzás disztributív az összeadásra nézve.

A csoport szintén absztrakt algebrai fogalom, ami alatt ezt értjük:

Egy A halmaz a rajta értelmezett # művelettel együtt csoport, ha olyan félcsoport, amelyben a # művelet invertálható.

További fogalmak:

Félcsoport:

Félcsoportnak nevezünk egy olyan (A, #) grupoidot, amelyben a # művelet asszociatív.

Grupoid:

Egy (A, #) algebrai struktúrát grupoidnak nevezünk, ha # egy bináris művelet A-n.

Algebrai struktúra:

Ha A egy halmaz, F pedig az A-n értelmezett műveletek halmaza, akkor az (A, F) párt algebrai struktúrának nevezzük.

Ha F egyetlen eleme #, akkor (A, F) = (A, {#}) helyett röviden (A, #)-et szokás írni.

Invertálható művelet:

Egy (A, #) algebrai struktúrában # invertálható, ha minden a ∈ A-ra létezik b ∈ A úgy, hogy a # b = e; ahol e ∈ A neutrális elem.

Neutrális elem:

Ha egy (A, #) algebrai struktúrában van olyan e ∈ A, hogy a # e = e # a = a minden a ∈ A esetében, akkor e-t neutrális elemnek nevezzük.

Egy (A, #) algebrai struktúra kommutatív, ha az A-n értelmezett # művelet kommutatív. A kommutatív csoportot Ábel-csoportnak is hívjuk. A műveleteket általában * és + jelekkel jelöljük. + esetében additív, * esetében multiplikatív írásmódról beszélünk. Az előbbi esetben +-t összeadásnak hívjuk, utóbbiban *-t szorzásnak. Ha additív írásmódot használunk, a + művelethez tartozó neutrális elemet egységelemnek nevezzük és az 1 karakterrel jelöljük, multiplikatív írásmódnál azt mondjuk, hogy e zéruselem és a 0 karakterrel jelöljük. Ha a # b = b # a = e, b-t az a szimmetrikus elemének mondjuk, additív (multiplikatív) írásmód esetén a megnevezés: ellentétes elem (inverz elem); jelölés: -a (a^-1).

Most, hogy tisztáztuk a fogalmakat és jelöléseket, az hogy R test részletezve a következők teljesülését jelenti:

(A1) Minden a, b ∈ R-re: a + b ∈ R.

(A2) Minden a, b, c ∈ R-re: a + (b + c) = (a + b) + c.

(A3) Minden a, b ∈ R-re: a + b = b + a.

(A4) Van olyan 0 ∈ R, hogy minden a ∈ R-re: a + 0 = a.

(A5) Minden a ∈ R-re van olyan -a ∈ R hogy: a + -a = 0.

(M1) Minden a, b ∈ R-re: a*b ∈ R.

(M2) Minden a, b, c ∈ R-re: a*(b*c) = (a*b)*c.

(M3) Minden a, b ∈ R-re: a*b = b*a.

(M4) Van olyan 1 ∈ R, hogy minden a ∈ R-re: a*1 = a.

(M5) Minden a ∈ R\{0}-ra van olyan a^-1 ∈ R hogy: a*a^-1 = 1.

(D1) Minden a, b, c ∈ R-re: a*(b + c) = a*b + a*c.

Az (M3) kimondja, hogy a szorzás kommutatív, viszont amikor azt mondtuk, hogy R test csak az összeadásnál volt szó a kommutativitásról. Az olyan testet, amiben a második művelet is kommutatív, kommutatív testnek mondjuk. Tehát R kommutatív test. Továbbá R\{0}-ra mondtuk, hogy a szorzással csoport, de csak (M5)-ben írtam R\{0}-át. Ez bizonyára nem okoz túl nagy félreértést.

Középiskolában az, hogy a valós számoknak megvannak ezek a tulajdonságai nem bizonyítandók, vagyis az (A1)-(A5), (M1)-(M5), (D1) pontok axiómák. Mint írtam, még az eltén az analízis 1 tárgyhoz ajánlott irodalomban is axiómaként írnak róluk. Ezekből az axiómákból vezethetők le a mindenféle elemi algebrai azonosságok, amiket pedig a későbbiekben rengeteg helyen használunk. Tehát mondhatjuk, hogy ezek azok "az axiómák, amelyekből az egész középiskolás algebra levezethető". (Ez valójában nincs így, mert nem csak műveleteket, hanem relációkat és függvényeket is értelmezünk a valós számok halmaza felett, valamint nem csak és kizárólag elemi algebrai módszerekkel bizonyítunk mindig - pl. binomiális tétel, de a teljes indukciót sem tekinteném annak - azonban ezek sem a legegyszerűbb témák, így ezek kifejtésétől is eltekintenék.)

"Ha additív írásmódot használunk, a + művelethez tartozó neutrális elemet egységelemnek nevezzük és az 1 karakterrel jelöljük, multiplikatív írásmódnál azt mondjuk, hogy e zéruselem és a 0 karakterrel jelöljük."

Egyrészt a zéruselem helyett nullelem. Másrészt pont fordítva. Szorzásnál egység- (1) és az összeadásnál nullelem (0).