Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

Kérdező, olyasmit kérdezel, ami szembeállítja a matematika formalizmusát az emberi elme intuitivitásával. A matematika hosszú története alatt ezeket a tényeket maguktól értetődőknek vélték, és nyugodt szívvel hivatkoztak rájuk a „bonyolultabb” problémák feltárásának eszközeként. Ezért tarthatott a matematika ott, ahol, mielőtt az igazán alapvető alapjaival foglalkozni kezdtek volna.

Ez a próbálkozás úgy kezdődött (vagy legalábbis fontos mozzanata volt), hogy Bertrand Russell 1901-ben logikai ellentmondást talált az addig evidensnek tartott állítások logikus következményei között. („Ha van egy A halmaz, amely tartalmaz minden önmagát tartalmazó halmazt, A tartalmazza-e önmagát?”) Mivel pedig ilyesmi előfordulhatott a matematika egy ilyen alapvető területén, az egészet újjá kellett építeni kőkemény formális alapokra, hogy véletlenül se fordulhasson ilyen elő újra.

Ezért tehát egy matematikai bizonyítás során véresen komolyan veszik azokat a nüanszokat is, amik amúgy a józan ész alapján napnál világosabban látszanának; és éppen mivel ez a kérdés ennyire alapvető dolgot feszeget, rengeteg az ilyen buktató minden bizonyítási kísérletben. Ha például az abszolút nulláról, illetve abból a pár axiómából be akarod látni, hogy 1+1=2, bármilyen fájdalmasan egyértelmű, puszta matematikai formulákkal több száz oldalt vesz igénybe a bizonyítás.

"Amúgy nem vagyok tanár."

Ez az a pont, amikortól is nincs miről beszélnünk. Valószínűleg nem is sejted, de mindkettőnk számára nyilvánvaló, hogy miért problémás ez a mondat. Hiába ösztönöznél arra, hogy megfontoljam amit írsz, ezzel a kijelentéseddel a hitelességedet adtad fel. Gondolom megérted, ha ilyen körülmények között visszautasítom az egyébként is kifogásolható kritikádat.