Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy a valós számok asszociatívak és kommutatívak?

Tehát A + B = B + A

Ez legyen egyértelmű. Ebből pl. hogyan lehet bebizonyítani, hogy A + B + C = B + C + A ??

Érted, és akkor innen pedig általánosítva, tetszőlegesen sok tagra!

"Kérdező, nem tudod belátni, hogy ab=ba."

De, ezt be tudom bizonyítani!

a∙b = b + b + … + b = b∙1 + b∙1 + … + b∙1 = b∙(1 + 1 + … + 1) = b∙(a∙1) = b∙(a) = b∙a

Hasonlóan gondoltam az A + B esetében is.

"De ha nem is akarod, akkor innen teljes indukcióval beláthatod bármilyen véges összegre (vagy szorzatra, amire akarod)."

Oké, akkor bizonyítsuk indukcióval!

"Tetszőleges sokra továbbra sem igaz."

Miért nem igaz? Ha sok számot összeadok, az ugyan azt az összeget fogom kapni, ha a számok sorrendjét felcserélem, és utána adom össze őket!

De oké! ha a valós számokra nem lehet, akkor:

Hogyan lehet bebizonyítani algebrai módszerekkel, hogy az egész számok az összeadásban asszociatívak és kommutatívak?

Akkor legalább egész számokra bizonyítsuk! Hogy utána azt mondhassuk, hogy "öröklik a természetes számok, meg a valós számok is".

Vedd úgy, hogy a a*b = b*a bizonyításom is egész számokra vonatkozott!

Tessék, most jó:

a∙b = b + b + … + b = b∙1 + b∙1 + … + b∙1 = b∙(1 + 1 + … + 1) = b∙(a∙1) = b∙(a) = b∙a

Ahol: (a;b)eleme(Z)