Ha valószínűséget akarsz számolni, de semmilyen információd nincs a kérdéses eseménnyel kapcsolatban, akkor 50 százalékos eséllyel fog bekövetkezni?

> Mégegyszer mondom (sokadszorra), hogy ha valakinek egy eseményről minden információja megvan, akkor ő biztosra tudja, hogy be fog-e az esemény következni.

Én nem tudom, hogy holnap hányast fogok dobni, így nem tudom, hogy kék póló lesz-e rajtam. De az valószínűség kiszámításához minden információm elegendő mértékig megvan.

> Vagyis aki pontosan tudja a kocka röppályáját, stb., akkor neki vagy 100 vagy 0% valószínűséggel fog bekövetkezni bármilyen szám.

Hát ha a világ determinisztikus, akkor így van. De a fizika jelenlegi állása alapján a világ valószínű nem determinisztikus. Pl. a határozatlansági reláció miatt ha csak egyetlen részecskét vizsgálunk, akkor sem ismerhető meg ennek minden paramétere egy bizonyos pontosságon túl.

De ez a fizika. A matematika meg egy absztrakt rendszer, amiben a valószínűségszámításnak akkor van bármilyen értelme, ha adottnak vesszük a véletlent, mint fogalmi koncepciót. És a véletlen kifejező szó, nem arról van szó, hogy valamit nem lehet elvileg előre kiszámolni, hanem pont azt, hogy nem tudod kiszámolni, nem tudsz vélekedni arról, hogy holnap hányast fogok dobni, akárhány kérdésedre is adok tökéletesen precíz és helytálló választ.

~ ~ ~

Illetve a valószínűségszámítás valójában nem is teljesen erről szól. Igen, az egyszerűség kedvéért beszélünk egyetlen konkrét esemény valószínűségéről, de ha jobban belegondolunk, a dolog kicsit zavarossá válik. Mert mi a jelentése annak, hogy holnap 20% eséllyel fog 1 mm-nél több eső esni Piripócson? Mit is osztunk mivel, amiből kijön ez a 20%? Ha ötször lesz holnap, abból 1-szer fog esni az eső? De hát nem lesz, nem lehet ötször holnap…

Az időjárás előrejelzés sem ezt mondja tulajdonképpen, hanem azt, hogy a megfigyelések alapján mikor az *aktuális* adatok – hőmérséklet, légnyomás különböző koordinátákon – egy adott intervallumba estek, azon esetek 20%-ban másnap esett 1 mm-nél több csapadék.

A kockadobásnál sem az a lényeg, hogy te ki tudod-e számolni a már levegőben levő kocka mozgását. A valószínűség nem egy konkrét esemény tényleges kimenetelét adja meg, hanem egy *potenciális* esemény *várható* valószínűségét. Nem az a lényeg, hogy mit fogok dobni holnap, vagy mit dobtam ma reggel, hanem az, hogy ha veszünk *véletlenszerűen* 1000 olyan esetet, mikor feldobtam valaha a kockámat, akkor hány esetben dobtam vele 1-est, vagy 2-est. Ha 1000 eset közel harmadában történt meg ez, akkor bármelyik kockadobásom – akár a holnapi, akár a jövő év januári – *várhatóan* egyharmad eséllyel lesz 1-es, vagy 2-es.

Kérdező, most akkor valójában mi is a problémád? Nagyon szeretnék válaszolni, de én már végképp elvesztettem a fonalat veled kapcsolatban.

Már leírtuk egy rakat módon, hogy igen, az információ fontos, ezen kívül csak annyit feltételezhetünk, hogy amiről nem tudunk semmit, az nincs hatással a kimenetelre. Ezt nem lehet ennél egyszerűbben leírni.

A valószínűség-számítás nem más, mint egy modell, ami a problémát megpróbálja reális keretek közé szorítani, és, mint minden modell, ez sem tökéletes, de próbál a tökéletességre törekedni. Ahogy az információk bekerülnek a gépezetbe, úgy tud egyre pontosabb eredményt adni, és persze minél kevesebb információ van, annál pontatlanabb eredményt tud kidobni (vagy azt mondja, hogy kevés az adat, és nem tud mit mondani). Például ha azt kérdezem, hogy egy pakli kártyából mekkora annak a valószínűsége, hogy pikk királyt húzok, azt te a büdös életben nem fogod tudni megmondani, amíg azt nem tudod, hogy hány lapos a pakli és hogy a pakliban hány kártyalap van. Ha ezeket tudod, akkor előfordulhat, hogy magát a valószínűséget a csillagok valamilyen együttállása is befolyásolja, csak te azt nem tudod, hogy hogyan, így számodra marad a klasszikus valószínűségi modell, a csillagokkal pedig nem számolsz. De ha mégis tudnád, hogy a csillagjárás hogyan befolyásolja a lapjárást, akkor már azzal is tudnál számolni. És így tovább a világ összes tényezőjével, aztán 100%-ra tudnád, hogy milyen lapot húzok a pakliból.

Közelítsük meg valamilyen analógiával a dolgot. A valószínűségszámítás számítás. Vannak adataim, számolok velük, összeadok, osztok, szorzok stb… Hasonló ez ahhoz, hogy egy torony magasságát ki tudom számolni, ha megmérem azt, hogy a Nap milyen szögben áll, és mekkora a torony árnyéka:

magasság = árnyékhossz * tg(szög)

Ha nincsenek ilyen adataim, akkor nincs mit számolni. Maximum tippelgetni tudok, de ahhoz is kell információ, látnom kell a tornyot, kell valami referencia, hogy az X valami 100 méter magas, ez meg egy kicsit kisebb, stb… Még a saccoláshoz is – ami messze van a számítástól – kellenek információk.

Ha mérek, akkor már tudok számolni. Viszont ha pontatlanul olvasom le a szöget, vagy selejtes a méterrudam, akkor csak annyi történik, hogy mást fogok kiszámolni, mint ami ténylegesen a torony magassága.

A torony mindezektől nem megy össze, és meg nem nyúlik meg, az marad akkora, amekkora, függetlenül attól, hogy kinek milyen és mennyire pontos információi, adatai vannak.

Az általad feszegetett kérdés olyan, mintha azt mondanád, hogy ha nem tudsz semmit a toronyról, akkor az ténylegesen 1 méter magas. (Miért 1 méter? Miért ne, ez is pont olyan önkényesen kiválasztott adat, mint az 50% a valószínűségszámításnál.) És nem azt mondod, hogy ha nem tudsz semmit a toronyról, akkor 1 méternek veszed a magasságát, vagy ennyit tippelsz, vagy ennyit számolsz, hanem azt mondod, hogy ha nem tudsz semmit a toronyról, akkor az ténylegesen 1 méter magas a valóságban.

> Ha egy kockával soha nem dobtam még, akkor mekkora eséllyel lesz hatos a következő feltételek mellett?

> -Semmit nem tudok a kockáról, még azt sem, hogy van-e rajta hatos. Az is lehet azonban, hogy csak hatos van rajta.

> -Semmit nem tudok a fizika törvényeiről, még azt se, hogy leesik-e a kocka.

Akkor számodra ismeretlen esélye lesz annak, hogy hatost dobsz. Nem 50%, hanem ismeretlen. A kettő között van „némi” eltérés.

Na jó, akkor egy példával igyekszem megvilágítani.

Ha semmilyen információd nincs az esemény bekövetkezésének a valószínűségéről, akkor azon az egy elemi eseményen értelemszerűen nincs mit számolni.

Pl. tegyük fel, hogy a várt esemény az, hogy egy ismeretlen térfogatú(mivel nincs semmilyen infód, ezért ismeretlen, a térfogatból azért lehetne következtetni az összes tárgy számára) dobozból véletlenszerűen választva egy kis piros kocka kerül elő.

Fogalmad sincs, hogy mik vannak a dobozban, hány darab valami van a dobozban, sőt, még arról sem, hogy van-e benne egyáltalán kis piros kocka, vagy ellenkezőleg, csak kis piros kockák vannak-e benne, és semmi más, vagy hogy tök üres a doboz.

Tehát ennek a valószínűsége 0 és 1 között bármekkora lehet.

Ez eddig gondolom tiszta sor.

Ha több eseményt együtt vizsgálsz, pl. éremfeldobásnál fej lesz(itt ugye P=1/2), ÉS kis piros kocka kerül elő a dobozból:

Nyilván össze kell szoroznod az események valószínűségeit.

Ennek a szorzatnak 0 és 1/2 között bármi lehet az eredménye.

Ha VAGY kapcsolatot akarsz számolni, akkor pedig az ismert képlet alapján:

P(A) + P(B) – P(A ÉS B).

Azaz:

1/2 + P(B) - (1/2*P(B))

Ilyenkor a szélsőértékekkel érdemes játszadozni, tehát ha P(B)=1:

1/2 +1 - 1/2 = 1

Ha P(B) = 0:

1/2 + 0 - 0 = 1/2

Azaz 1/2 és 1 között bármi lehet az eredmény.