Az, hogy hány dimenziós világban élünk, pusztán matematikai interpretáció kérdése?

Egy másik kérdés kapcsán már kiderült (és ez nem személyeskedés, mert ez tény),hogy a kérdező hijján van annak a képességnek, hogy összetett, elvonatkoztatott, matematikai fogalmakat felfogjon. Ez "normál" esetben kb. 10-12 éves kor körül kezd el kialakulni, és általában 18-20 éves korra már teljesen képesek az emberek használni ezeket a fogalmak, és megfelelően felfogni (erre rengeteg kutatás van, mi ezt tanultuk is annak idején). Itt egyértelműen látszik, hogy ez a képesség teljes mértékben hiányzik. Ez önmagában nem baj, mert az emberek egy részénél is hiányzik, vagy nem alakul ki teljes mértékig. A különbség, hogy ők ezt belátják és nem kezdenek el itt kötözködni.

Illetve a másik ami szintén "tipikus viselkedés minta" azoknál akik okosabbnak szeretnének látszani mint amilyenek valójában (erre is rengeteg kutatás van). Hogy szeretnek olyan kifejezéseket, szavakat használni amelyek az ő szintjükön teljesen felfoghatatlanok, de érdekesen hangzanak, és a saját társai között elismerő: "titokzatos szavakat tud, amiket csak az egyetemen tanítanak" (Karinthy után... Bár ő kicsit másképpen használta, de idézetnek ide nem rossz).

Miután ez a képesség hiányzik nála ezért nem képes felfogni a matematikai modell alkotás (vagy másnéven absztrakció) lényegét. Sajnos ez van. Ezért kapaszkodik olyan csírákba amiket még valamennyire felfog.

"Amúgy a féreglyukakra meg hasonló fizikusi erőlködésekre is azért van szükség, mert nagyon ragaszkodnak ahhoz, hogy létezik távolság a világban."

Oké, de mit ajánlasz helyette? Mivel, hogyan fejezzem ki a kocsmaajtóban állva, hogy messze lakom, ha távolság nem is létezik?

> De éppen az a lényeg, hogy a többség csak azért mondja háromdimenziósnak a fizikai teret, mert eukleidészi térnek képzeli el a fejében.

Nem csak ezért, de ezt már leírtam, csak ignoráltad. Egy csillag, egy lámpa, egy gyertya fényerőssége a távolság négyzetével arányosan csökken. A gravitációs, mágneses vonzóerő is. Egy szétrobbanó csillagszóró darabkáinak a száma is. Egy vízhullám is egy kört rajzol ki. Egy szappanbuborék is gömb alakot formáz. Egy a végénél megforgatott bot is egy gömbfelületet ír le, egy a tömegközéppontja körül – rá ható extra erő, így azonos perdület mellett – pörgő akármi is a tér egy adott pontjait érinti, ami történetesen egy kör. Ha fogsz egy betonkeverőt, beletöltesz nem túl kemény, nem is túl puha, közel azonos anyagból készült, közel tömegű valamiket, akkor kellő idő után a betonkeverőkben olyan dolgokat találsz, amire azt mondjuk, gömb alakú. Ha ezekből fogsz hibahatáron belül azonos tömegű darabkákat, akkor mi azt mondjuk, ezek azonos átmérőjű gömbök. Hogy egy ilyen gömbhöz hány olyan gömböt tudsz illeszteni, hogy érintse a középső gömbödet, az a tér dimenziójától függ, egydimenziós tér esetén 2-t, kétdimenziós tér esetén 6-ot, háromdimenziós tér esetén 12-t, négydimenziós tér esetén 20-at, ötdimenziós tér esetén 30-at stb…

Ezek mind-mind fizikai realitások, aminek az összefüggéseit a vektortér, mint matematikai modell egyszerűen és helyesen ír le, míg a te konstrukciód nem. A példámban vehettem volna egy 20*20-as rajzlap helyett egy 20 cm átmérőjű körlapot is, az reprezentál valami fizikai realitást, ha egy testnek van egy perdülete, akkor a pontjai mindazon pontokat érintik, amik ennek a 20 cm átmérőjű rajzlapon rajta vannak, de más pontot nem. De mindez lényegtelen. A rajzlap (akárhány dimenziósnak is tekinted) folytonos, bármely két pontja között húzható egy szakasz, és az ilyen szakasz minden pontja rajta van a rajzlapon. A te konstrukciód meg egyáltalán nem folytonos.

És erre szépen leírtam, hogy a te konstrukciód vagy nem írja le ezt a fizikai realitást, vagy leírja, viszont akkor nem felel meg a vektortér – szintén csak triviális realitásokból – felállított definícióinak, így nem értelmezhető rá a dimenzió fogalma.

~ ~ ~

> A "kétdimenziós" hangyák is azt gondolják, hogy Moszkva és Berlin 1600 km-re van egymástól, miközben mi, háromdimenziós emberek tudjuk, hogy 1300 km-re van egymástól a két város.

Egy kétdimenziós felületen élő lény is – ha racionális gondolkodásra képes – képes belátni, hogy az a felület, amin él, az nem kétdimenziós. Nota bene ezt sejtették meg az ókorban is, több egymástól független kultúra jött rá, hogy a Föld nem lapos, hanem gömb alakú, anélkül, hogy körbe tudták volna utazni a Földet, rá tudtak volna nézni kívülről a Földre, láttak volna a Föld egy nagyon kis felületrészén kívül bármi mást. Nem csak rá tudtak jönni, hogy a Föld nem lapos, de még meg is tudták mérni a gömb sugarát, méghozzá meglepően pontosan. (Oké, történelmileg úgy korrekt, hogy nem pontosan mérték meg, csak a pontatlanságok a véletlenek összjátéka miatt pont úgy kompenzálták ki egymást, hogy az eredmény egészen pontos lett.)

~ ~ ~

> Bizonyára erre azt fogjátok mondani, hogy fizikai képtelenség a kétdimenziós hangyák léte, mert csak háromdimenziós dolgok létezhetnek. De abba belegondolt bárki is, hogy ezt bizonyítani kéne?

Nem kell bizonyítani. Ugyanis nem lehet bizonyítani. Egy kétdimenziós világ attól kétdimenziós, hogy a fizikai folyamtok ezen a két dimenzión belül hatnak. Ha létezik is „síkföld” világa, az nem tud kölcsönhatásba lépni a saját síkján kívül, így a létezése nem falszifikálható. De ez már nem matematikai, hanem ismeretelméleti, tudományfilozófiai kérdés.

Ennek ellenére bizonyos dolgok természete kétdimenziós, pontosabban kétdimenziós matematikai térrel lehet a legegyszerűbben modellezni, és így is teszünk.

~ ~ ~

> Az 5 egy matematikai fogalom, a természetben nem léteznek ötök.

Ez megint inkább filozófiai kérdés, annak a kérdése, hogy mit jelent az, hogy „létezik”. A teljes matematika egy absztrakció. Nota bene sűrűség sem létezik. Tudsz nekem adni három egység sűrűséget? Tudsz nekem adni 5Ω-ot, anélkül, hogy vezetéket, atomokat adnál? Tudsz nekem adni átlót, anélkül, hogy mondjuk papírt, grafitot adnál? Nem, ezek nem anyagok. Ezek tulajdonságok, az anyag viselkedését meghatározó absztrakt jellemzők, amik mindezek ellenére valós összefüggéseket segítenek feltárni.

Igen, az 5 nem létezik. 5 ember létezik. 10 alma is létezik. Az 5, mint matematikai absztrakció meg remekül leírja, hogy ha minden ember azonos mennyiségű almát kap, akkor egy embernek hány almája lesz. De tényleg nem létezik elsődleges fizikai valóságában sem a 2, sem az 5, sem a 10. Kör sem létezik. Letehetsz almákat kör alakban, de nem tudod leemelni a kört róla és eltenni a fiókban úgy, hogy az almák meg az asztalon maradnak. Hélium sem létezik. Amik léteznek, azok ilyen „izék”, amiknek adtunk egy olyan nevet, hogy „részecske”, aminek meghatároztunk egy raklap egzakt módon leírható tulajdonságát – töltését, tömegét, spinjét, akármijét –, és héliumnak azt nevezzük, ahol ezekből az részecskének hívott izékből adott intervallumok között van minden tulajdonságuk, absztrakt fogalmakkal leírva azonos rend, azonos viszonyrendszer, azonos kölcsönhatások állnak fenn közöttük.

Tehát kör vagy gömb, vagy egyenes nem létezik, csak valamilyen anyagi létező létezik, aminek a belső összefüggéseire fennáll az, amit a matematikai absztrakció körnek, gömbnek, vagy egyenesnek nevez. De másik oldalról meg ez sokkal inkább létező. Bármiből is csinálsz pl. gömböt, fából, vasból, szappanbuborékból, ezek az anyagok idővel mind-mind elrohadnak, elkorhadnak, elrozsdálnak, elkopnak, eldeformálódnak, szétesnek. A gömb meg – akármennyire is absztrakt fogalom – sokkal inkább létező, hiszen bele van kódolva a világ jelenségei közötti összefüggésekbe, azaz a fizikai törvényekbe, újra és újra teremtődnek, és nem valamiféle teremtő akarat, hanem a fizika törvényszerűségei miatt. A Nap is, a Föld is közel gömb alakú, de ezek x milliárd év múlva megszűnnek, szétesnek. Még a protonok is elbomlanak kellő idő után. De amíg létezni fog a világ, a gömb, mint forma újra és újra meg fog születni fizikai törvényszerűségek következményeként.

> "A dimenzió is matematikai fogalom, a természetben nem léteznek dimenziók"

Így van. Viszont a dimenzió elvont fogalma reprezentál a fizikai valóságban valódi összefüggéseket. Más dimenziójú tér más összefüggéseket. Ez alapján el lehet dönteni, hogy a matematikai absztrakt modell helyes-e vagy sem.

Viszont ha nincsenek dimenziók – szerinted –, akkor egydimenziós tér sincs.

De kanyarodjunk vissza a matematikához.

Te hogyan is definiáltad egy pont koordinátáját? Fogtad a pont háromdimenziós koordinátáit, és abból képeztél egy számot. Oké. Meg tudod tenni ugyanezt anélkül, hogy az amúgy általad elvetett háromdimenziós rendszert használnád? Felrajzolok neked origót. Felrajzolok neked egy pontot, aminek a koordinátája (1). Meg felrajzolok neked egy P pontot. Kérlek add meg nekem ennek a P pontnak a koordinátáit, anélkül, hogy tennél egy köztes két- vagy háromdimenziós leképezést.

Legyen mondjuk az Parlament kupolájának a csúcsa. Vegyünk fel egy olyan koordináta rendszert, amiben a Kossuth tér zászlórúdjának a csúcsa pont az (1)-es koordinátájú pont. Hogy határozod meg a Gellérthegyen álló Szabadság szobor feje búbjának a koordinátáit? Hangsúlyozom úgy, hogy közben nem használsz kétdimenziós és háromdimenziós rendszert… Ja, ilyenek is felejts el, hogy merőleges, mert az is minimum két dimenzióban értelmezhető csak.

Ha ez megvan, akkor extra feladat legalább egy pont koordinátájának kiszámolása, ahonnan nézve a zászlórúd valamelyik része részben eltakarja a Szabadságszobrot, majd a koordináta ismeretében rámutatni a térképen erre a pontra, vagy elmenni a valóságban erre a pontra.

156/156 2*Sü ma 12:34: A kérdező nem érti a gömböt sem. Ez egy másik kérdésénél már kiderült. Nem képes erre az absztrakcióra ez maximálisan meghaladja a értelmi képességeit. Ugyanígy a számokkal történő műveletek absztrakt szintre emelése is meghaladja a képességeit ez is kiderült már több kérdéséből, és az azokra adott "viszont válaszaiból" (ami egyértelműen csak kötözködések)

Konkrétan: Ha jól emlékszem a Sain könyvben olvastam (Nincs királyi út), hogy nem egyszer pont a fizikai világban tett megfigyelések hoztak bizonyos matematikai fejlődéseket (pl. Newton munkássága a diff. és integrál számítás terén, mert neki szüksége lett ezekre az alapvető mozgásegyenletek leírására; de ugyanígy később Kármán esete, amikor kevés volt neki a matematikai háttér).

Szintén nyilván való (és ezt még egyetemen valamelyik tárgyból tanultuk, de már nem emlékszem melyik órán)- már aki rendelkezik az absztrakció felfogásának képességével - hogy "történelmileg" valami hasonló volt a fejlődés, és kialakultak az idealizált testek számtalan megfigyelésből. Egyébként egy Csányi elődadásban hallottam kb. 25 éve egy olyan megfigyelést, hogy egyes primáta fajok esetén is már megjelenik a kezdetleges absztrakció képessége (többek között konkrétan egy Kanzi névre keresztelt bonobó példáján mutatta be). Majd többek között azt vezette le, hogy az emberré válás egyik fontos lépése a "nagyon magas szintű" absztrakciós képesség. Azaz ő úgy magyarázta, hogy ez egy erősen antropogén jelleg. Többek között ez volt szükséges a beszélt nyelv kialakulásához is. Hiszen már maga a nyelv is (még csak a beszélt nyelvről) beszélünk nagyfokú absztrakciós képességet igényel. Később az írásbeliség kialakulása ezt tovább erősítette. Azaz itt nem is csak és kizárólag a matematikai ismeretekről kell "alapszinten" beszélni, hanem arról az antropogén jellegről, hogy képes az ember egy-egy fogalmat úgy megalkotni, hogy az egy "csoport elvont jellemzője". Pl. ha azt mondjuk, hogy "kinéztem az ablakon és láttam egy fát" ebből - már aki képes erre - el tud képzelni az abalkon keresztül egy fát. Erre az ember képes, és ez egy emberi tulajdonság. Ennek magasabb szintje az amikor az így kapott testek tulajdonságai alapján képes az emberi elme egyes formákat "idealizálni". Pl. Lesz egy "elméleti fa" ami valamilyen szinten hasonlít az összes a természetben megtalálható fához, de teljesen alkalmas arra, hogy "általában beszéljünk a fákról". Ha ez a képesség hiányzik nem tud kialakulni a nyelv sem. Aztán, hogy mikor következett be, és mely testek esetén történt meg az "elméleti testmodel" idealizálása pl. a fenti példádban mikor jelenik meg a gömb fogalma, és ez mikor szakadt el a fizikai gömbtől - Hiszen mint könnyedén beláthatjuk a gömb egy idealizált forma (ld. pl. megnézünk több száz focilabdát, kézilabdát, kosárlabdát, ennek a fomrának az idealizálásából is eljutunk a gömb formáig, és még a Te példád alapján találunk még számtalan olyan formát aminek az idealizálása gömböt ad), majd elkezdődött ennek a gömb formának a vizsgálata és egyre inkább az idealizált formák vizsgálata és az azokból leszűrhető eredmények vezettek odáig, hogy a végén már nem szükséges mindenkinek újra felismernie azt, hogy a természetben nagyon sok minden gömbbé idealizálható, és nem kell felismernie a gömb jellemzőit, hanem ez tanulható. Ez a tanulási folyamat az ember evolúciójának szintén egy fontos lépése, ami megint összefügg a nyelv kialakulásával.

Nyilván való az is, ahogy fejlődik az ismeret és egyre több "idealizált fogalmunk" lesz, egyre mélyebb és mélyebb összefüggések lesznek felismerhetőek. És pl. eljuthatunk az Euklideszi geometáriákig, majd később a nem euklideszi geometriákig. Illetve az itt kapott "ismereteket" a fenti modell szerint tovább tudjuk "idealizálni" illetve "általánosítani" és a megfigyelések alapján a modell pontosítható, majd egyenes út fog elvezetni akár a koordináta rendszer megalkotásáig, illetve a vektor terek felismerése. (pl. Gauss, Euler, Maxwell, Osztrogadszkij és sorolhatnám a neveket). És ennek egyenes következménye lett az, hogy definiálni kellett a dimenzió fogalmát, amely egy adott vektor tér egyik tulajdonsága.

Szintén belátható, hogy az általunk közvetlenül megfigyelhető fizikai tér (pl. ez a szoba ahol ülök) "természetes úton" idealizálható egy vektor térré (koordináta rendszer), mert így meg tudom határozni a monitor, egér, billenytűzet helyét a szobán belül.

A kérdező ott téved egy brutálisan nagyot, és ezt a tévedését - amit felfogó képesség beli korlátok okoznak nála - hogy azon izmozik görcsösen, hogy a bevált fogalmakat akarja újraértelmezni, és egy másik jelentést akar nekik adni. De nem érti meg, hogy ez nem így működik. Kidolgozhat egy új rendszert de akkor ne a bevált fogalmakat értelmezze újra, mert az káoszhoz és feszültséghez vezet (ld. pl. Csányi Humánetológia c. könyve, vagy pl. Madách Ember Tragédiája amikor egy "i"-betű miatt esnek egymás torkának). Ez már nagyon messzire vezet a nyers matematikai ismeretektől és definicióktól, mert ez igazán már az emberi elme műkődése, humánetológia, pszichológia, oktatásmódszertani, illetve végső soron

elmekórtani kérdés.

Illetve pont a fentiek miatt, hogy "mindenki úgyanazt értsen egy fogalmon" vannak a matematikában pontos definiciók és axiómák, hogy a fent ismertetett spontán értelmezések (pl. idealizált foci labda) konkrét jelentést kapjanak. Az megint egy nyelvtudományi kérdés, hogy a beszélt nyelv - legjobb ismereteink szerint - egyrészt redundáns, másrészt sosem teljesen egyértelmű. Mindig vannak szinonímák, és mindig vannak olyan szavak amelyek többes jelentéssel bírnak (pl. szövegkörnyezet függő jelentéstartalom), és ezért is fontos a matematikában a definiciók szigorú követése, hogy elkerüljük a beszélt nyelvek fenti jellemzőiból adodó félre értéseket. De ez megint nem matematika, hanem általános emberi tulajdonság. Nyilván ennek felfogásához megint szükséges gy absztrakciós képesség.