Az, hogy hány dimenziós világban élünk, pusztán matematikai interpretáció kérdése?

#128

" hogy lehet irracionális pontokkal számolni a számegyenesen."

Senki nem is állította, hogy nincsenek irracionális számnak megfelelő pontok a számegyenesen. A probléma, amit már többször is leírtak, az, hogy a 3 dimenziós térbeli pontok közül azokat, amelyeknek irracionális koordinátái vannak, a módszereddel nem lehet értelmesen leképezni a számegyenesen.

További problémák, amekre már korábban felhívták a figyeledet, és nem sikerült érdemi választ adni rájuk (mondjuk ahogy nézem, nem is nagyon próbálkoztál):

- Ha a koordináták között van negatív előjelű, azt nem lehet a módszereddel kölcsönösen egyértelműen leképezni az általad vázolt módszerrel. (Többek között 2*Sü 81. válasza.)

- A műveletek telejsen értelmetlen eredményt adnak az általad leírt rendszerben (lásd többek között 2*Sü 59. válaszát)

Hú :), annyi olvasnivaló akad itt, hogy el is felejtettem az eredeti kérdést.

Először is mindkét fél részéről érzékeltem személyeskedést. Nem kellene emberek. A válaszolók többsége (tisztelet a kivételnek) szerintem pontosan annyira "bugyuta" érveléssel élt, mint amilyet a kérdezőről feltételeztek, igazságtartamtól függetlenül. Ez olyan mint a laposföld-hívők, lehet nevetni rajtuk, de én azokon is nevetek akik pont olyan ügyetlenséggel akarják bebizonyítani e tény ellenkezőjét, " az ő valóságukat". S nem az ügyetlenségük miatt nevetek, hanem a képmutatáson, hogy őket nem érinti a "felszínes" logikai gondolkodás. Természetesen én sem lehetek kivétel, de az ellenkezőjére kell törekedni!

Bijekció van R és R^3 között, nyilván nem izomorf, szerintem azon nem kellene ugrálni tovább, hogy most nem írt hozzászólásba egy adott képletet erre vonatkozóan. A fésűs módszert említették itt többen ami teljesen alkalmas a ]0,1[ x ]0,1[ x ]0,1[ nyílt kocka és ]0,1[ nyílt intervallum megfeleltetésére. Kell még R^3 és a nyílt kocka, továbbá R és nyílt intervallum közé is bijekció és meg is volnánk.

Ami a kérdést illeti, szerintem:

Érdekes a felvetés hogy attól 3 dimenziós-e a tér, hogy így közelítünk felé, de a feltett kérdésben ott a válasz, maga a dimenziófogalom a matematikai konstrukció, amely viszont ráillik a létező fizikai terünkre.

A topológiai dimenziófogalom kellhet, nem a vektortereké. Röviden: FOLYTONOS bijektív megfeleltetés az R^n tér egy részhalmazával. Mivel letudjuk írni a teret TOPOLÓGIAILAG 3 dimenziós térrel, ezért a tér 3 dimenziós. Tehát fontos hogy az egymás melletti dolgok a bijektív megfeleltetésben is egymás melletti dolgok legyenek ("topológiai leképezés"). Valami hasonló felvetés volt mások részéről is csak nem tudták jól megfogalmazni.

Tehát a tér nem azért 3 dimenziós mert annak tekintjük, hanem mert így definiáltuk a dimenzió fogalmát. Szerintem.

Hogy mi a leképezés az ℝ³ és az ℝ halmaz között, az maximum annyiból lényeges, hogy az így kapott valós szám pontosan milyen valós, geometriai tulajdonságot reprezentál. Lehet érdekes kérdés persze, bele lehet menni ennek a részleteibe is, de a lényeg szempontjából kevésbé releváns.

Viszont a dolog lényegi részét közelítsük meg máshogy…

Vegyünk egy 20*20 cm-es rajzlapot (A mértékegység a továbbiakban cm lesz.) Ugye ez része a fizikai térnek, a többség véleménye szerint ez a fizikai háromdimenziós térnek egy kétdimenziós véges térrésze. Erre a rajzlapra mi felveszünk egy kétdimenziós affin, közelebbről egy Descartes-koordináta-rendszert. Ahhoz, hogy a jobb alsó sarokból eljussunk bármelyik pontra, ahhoz két független vektorral való eltolás kell, egy adott mértékű vízszintes és egy adott mértékű függőleges irányú eltolással bármelyik pontra el lehet jutni a rajzlapon. A pont koordinátái azt reprezentálják, hogy mekkora mértékűnek kell lennie ennek a vízszintes és függőleges eltolásnak.

Ugye egy vektortérben egy eltolás olyan – olyannak KELL lennie definíció szerint –, hogy az megfelel fele akkora nagyságú eltolásnak a kétszeri elvégzésével, vagy egy ötödakkora eltolás ötszöri elvégzésével. Ez úgy eléggé magától értődik, ezért is lehet koordinátával kifejezni egy pontot, mert az adja meg, hogy hányszor kell ismételni az egységvektorral való eltolást. Illetve ezt fejezi ki a vektornak a skalárral való szorzásának disztributivitása:

∀ a,b∈ℝ és v∈V: (a+b)v = av + bv

Ha tehát 8 egységgel tolok el valamit, az megfelel egy 3 és utána egy 5 egységgel való azonos irányú eltolásnak.

Na most akárhogy húzogatod a ceruzát a vízszintes tengely mentén, soha nem fogod elérni a jobb felső sarkot. Azért, mert annak van egy y koordinátája is, ami nem nulla, és ennek az y tengelyt meghatározó egységvektor független az x koordinátát meghatározó egységvektortól.

Oké, most vegyük a te megfeleltetésedet némileg javítva, és a könnyebbség kedvéért most csak pozitív egész koordinátákkal számoljunk. Valahogy így:

(12;34) → (1324)

Így a jobb felső sarok koordinátái:

(20;20) → (2200)

A rajzlap középpontja meg:

(10;10) → (1100)

Nos a rajzlapunk konvex, így ha egy szakasz két pontja rajta van a rajzlapon, akkor a szakasz felezőpontja is rajta van a rajzlapon. Erősebben megfogalmazva, nem tudsz úgy szakaszt rajzolni, hogy a szakasz két végpontja a rajzlapon belül legyen, de a felezőpont a rajzlapon kívül. A 2D-s koordináták folytonosak a [0,20] intervallumon belül.

Ha a te megfeleltetésedet vesszük, akkor a rajzlap középpontjának koordinátája (1100). Ahhoz, hogy oda eljuss, ahhoz neked egy (1) vektorral való eltolást kellene 1100-szor megismételni. Viszont akkor érintened kell az (550) koordinátát, ami nem hogy nem a felezőpontja a szakaszodnak, de még csak rajta sincs a rajzlapon, hiszen ennek a kétdimenziós megfelelője a (5;50) koordináta. A rajzlap ugyan folytonos, bármely pontjából bármely pontjába el lehet jutni egy egyenes mentén a rajzlap elhagyása nélkül, a te koordinátáid viszont nem folytonosak. Ha csak az egész koordinátájú pontokat nézzük, akkor nálad 2201 egész koordinátájú pont van, amiből csak 441 van a rajzlapon, a többi a rajzlapon kívül található.

Hát ebből így sehogy nem lesz vektortér, nem fog teljesülni a ∀ a,b∈ℝ és v∈V: (a+b)v = av + bv kritérium.

Azzal, hogy azt mondod, hogy a világ – és benne a rajzlap – egydimenziós, azzal azt is állítod, hogy a (0) és a (2200) koordináták közötti összes egész koordinátájú pont – mind a 441 a végpontokat is beleszámítva – rajta fekszik egy egyenesen (hiszen az egész tér nálad egyetlen egyenes), ezzel szemben meg ránézve a rajzlapomra azt látom, hogy ha húzok egy szakaszt a bal alsó saroktól a jobb felső sarokig, akkor azon 21 darab egész koordinátájú pont van csak rajta, nincs rajta a te egydimenziós „teredben” a (3), a (20), a (108), vagy a (514)-es koordinátával jelölt pont, sőt ez utóbbi nem hogy az rajzlap lapátlóján, mint szakaszon nincs rajta, de a rajzlapon sincs rajta.

Nekem ez innentől magas.

Az hogy az 5 páratlan szám, pusztán matematikai interpretáció kérdése?

Def.: Páros az amelyik osztható 2-vel, páratlan amelyik nem.