Az, hogy hány dimenziós világban élünk, pusztán matematikai interpretáció kérdése?

A tér alapvetően geometriai fogalom. A geometria meg olyan alapfogalmakkal operál, mint pont, távolság, irány, eltolás stb… Az más kérdés, hogy a koordinátageometriában mindezt le tudjuk írni algebrai eszközökkel (számokkal).

Egy affin koordináta rendszerben (pl. egy Descartes-féle koordinátarendszerben) a dolog egyszerű, vannak egységvektoraink, egy pont koordinátái meg azt reprezentálják, hogy az egységvektorok lineáris kombinációjában az egységvektorok milyen skalárral vannak megszorozva. Máshogy – kicsi pongyolán – megfogalmazva az egyes koordináták az egyes tengelyektől való távolságot reprezentálják.

Ugye a vektorokkal végzett műveletek esetén is megvannak a definíciók. Pl. egy vektornak egy skalárral való szorzása disztributív művelet:

∀a∈ℝ és u,v∈V: a(u+v)=au+av

∀a,b∈ℝ és v∈V: (a+b)v=av+bv

∀a,b∈ℝ és v∈V: a(bv)=(ab)v

Ugye az affin koordinátarendszerben ha u és v egységvektor, akkor a és b koordináta lesz, amire fenn kell állnia a fenti összefüggéseknek.

Ennek pl. olyan következménye van, hogy ha van egy A=(x₁;y₁;z₁) és egy B=(x₂;y₂;z₂) pontunk, és egy P=(x₃;y₃;z₃) pont A és B között folyamatosan mozog, akkor ennek a P pontnak a koordinátái felveszik az A és B pont koordinátái közötti összes értéket (x₁≤x₃≤x₂ és y₁≤y₃≤y₂ és z₁≤z₃≤z₂).

És ez fontos, mert ennek lényeges, fontos fizikai realitása van.

Egy egydimenziós térnek ugye meg lehet feleltetni egy számegyenest, az egydimenziós tér pontjainak a koordinátái megfeleltethetőek a számegyenes adott számának. Ha a számegyenesen egy pont a 2-től folyamatosan mozog az 5-ig, akkor 2 és 5 között ez a pont az !összes! koordinátát fel fogja venni. Ez ugye egy v=(3) vektorral való eltolás, a fentiek miatt ennek meg kell felelnie egy u=(1) vektorral való háromszori eltolásnak. A mozgó pont a számegyenes minden pontját érinti 2 és 5 között, a 3-at, a 4-et, a 3,4-öt, a π-t, a 2√2-t stb… Az általad konstruált megoldásnál viszont ez nem áll fenn.

~ ~ ~

Addig oké, hogy te vetted a tér pontjainak a koordinátáit, amik ugye valós számok. Addig is oké, hogy |ℝ|=|ℝ³|, azaz a számhármasok számossága megegyezik a valós számok számosságával. Viszont ezzel csak egy bijektív leképezést tettél a valós számok halmaza és a tér pontjainak halmaza között. De a tér adott pontjához tartozó valós szám nem lesz koordináta. Egyrészt mert ez a szám nem valamiféle vektornak a skalárral való szorzását reprezentálja. Ha mégis megpróbálnánk így értelmezni, akkor nem áll meg a vektortérnek többek között a vektornak a skalárral való szorzása esetén a disztributivitás.

~ ~ ~

> Veszed a Descartes koordinátáit az adott pontnak. Leírod az x koordináta tizedesvessző előtti utolsó számjegyét. Mögéírod az y koordináta tizedesvessző előtti utolsó számjegyét. […]

Milyen számrendszerben? Milyen irányú koordináta rendszerben? Mert ezzel pl. az egyik fő gond, hogy a szám – egy valós szám, egy koordináta – egy értéket reprezentál, ami független a számábrázolástól, a számrendszertől. Az más kérdés, hogy mi egy adott számrendszerben tudjuk ábrázolni, és ennek is van lényeges realitása. Viszont az általad konstruált rendszer nem független a számábrázolástól, az így konstruált szám nem egy valós értéket reprezentál, hanem valóban csak egy szimbólum sorozatot.

Kicsit olyan ez, mintha fognád a könyvespolcodon a könyveket és mindegyikhez rendelnél egy természetes számot. Miért ne? Két véges halmaz között miért ne lehetne kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést képezni? Oké, de ettől a könyvek halmaza nem lett számhalmaz, mert lehet, hogy 3+8=11, de nem igaz az, hogy Arany János + József Attila = Petőfi Sándor, pláne nem igaz, hogy Ady Endre² = Babits Mihály. Ha a könyveidet megpróbálod a természetes számokhoz hasonló számhalmazként értelmezni, akkor a természetes számok halmazán végezhető, fizikai realitással bíró műveleteknek nem lesz a könyvhalmazon is fizikai realitással bíró értelmezése.

Egy kis filozófiai elmélyülés…

Hogyan is működik a matematika? Mondjuk van nekünk egy közepes pohárnyi borunk, ehhez hozzáöntünk egy kispohárnyi szódát, és a kérdés az, hogy mennyi fröccsünk lesz. Ehhez remekül tudjuk használni a matematikát. Mi ennek a menete?

1. Elvonatkoztatunk számos fizikai jellemzőtől, pl. a folyadékok anyagi összetételétől, színétől, ízétől, pusztán a folyadékok térfogatát vesszük, hiszen csak azonos minőségű dolgokkal lehet műveleteket végezni. A közepes pohár térfogata 2 dl, a kicsié 1 dl. Ettől még inkább elvonatkoztatva kell valamit csinálni azzal, amivel a 2-es számot és az 1-es számot feleltettük meg.

2. Az elvonatkoztatott (absztrakt) matematika pont azért jó, mert teljesen mindegy, hogy hosszúságokat, időegységeket, térfogatokat reprezentál egy szám, a számon műveletek végezhetőek. Fogjuk is gyorsan és elvégezzük a megfelelő műveletet: 2+1=3. Tehát az absztrakt térben jutunk el egy problémától egy megoldásig… De itt ezzel nincs vége…

3. Most jön a fontos lépés, mert ez az eredményül kapott 3-ast vissza kell „deabsztrahálni”, újra fel kell öltöztetni fizikai realitással. A 3 az térfogatot jelent, tehát 3 dl-t. A 3 dl meg egy nagy pohár. A fenti matematikai térbe való emeléstől és „lehozástól” függetlenül azt is tudjuk, hogy ez a valami, amit kaptunk valami más minőségbeli tulajdonságban is eltér, adjunk is új nevet ennek folyadéknak, legyen a neve fröccs. Szóval kaptunk 3 dl fröccsöt, ami még mindig kicsit absztrakt, a valós fizikai realitás az a nagy pohár fröccs, amit fogyassz egészséggel.…

Tehát a három lépés röviden:

1. fizikai probléma → matematikai probléma

2. matematikai probléma → matematikai műveletek → matematikai megoldás

3. matematikai megoldás → fizikai megoldás

És nálad a harmadik hiányzik. A fizikai tér pontjait absztrahálva vettél egy háromdimenziós matematikai teret. Megtehetetted, a fizikai térben is vannak távolságok, irányok, ezt szépen lehet absztrahálni. Ebben valamiféle halmazműveletekkel eljutottál valahova. Viszont ahova jutottál, annak nincs geometriai jelentése, nincs fizikai realitása. Ott egy számod ami egy adott pontot akarna reprezentálni, de nem tudod ezt visszaprojektálni a fizikai világba, nem tudod megmondani, hogy az általad konstruált szám milyen valós tulajdonságot reprezentál. Távolságot? Nem. Akkor mit is reprezentál?

Amit csináltál az a matematikán belül valid. Lehet mindenféle absztrakt rendszereket konstruálni. Viszont amit konstruáltál az nem írja le a fizikai tér jellegzetességeit, a fizikai tér absztrakt leírására alkalmatlan. Nem tudom minek a leírására lehet használni, de a fizikai tér leírására aligha.

„Az ilyen válaszokból látszik, hogy semmilyen értelmes érved nincs és még csak nem is értesz a témához.”

„Te találkoztál már a természetben teljesen pontosan aranymetszésű téglalappal? Merthogy én nem, az egész biztos.”

Ezek elég értelmes és meggyőző érvek az olyan nagyképű senkinek, mint te, idióta kérdező:

[link]

[link]

Ezekkel a nagyszerű eszközökkel való találkozás után már nem lesz ilyen nagy arcod, te szuper zseni, te világ esze.

"Te találkoztál már a természetben teljesen pontosan aranymetszésű téglalappal? Merthogy én nem, az egész biztos"

Ez mennyire cuki :D "Igaz, az én világmegváltó ötletem nem tud leírni bizonyos alakzatokat, de olyat még úgysem láttam, szóval jólvanazúgy"

Tehát erős a meggyőzésre irányuló motiváció. Nézzük, mire megyünk vele.

#40: „… hiszen a racionális (vagy természetes) számok is elegendők …”. Minden természetes szám racionális szám. Nem minden racionálisszám természetes szám. A természetes számok a racionális számok valódi részhalmaza. Ha viszont azonos halmazanak gondoljuk, a két megnevezés közé a „vagy” szócskát tesszük és megfordítva. No komment.

#42: „Várható volt, hogy a személyeskedést ismét egy válaszoló kezdi, és nem a kérdező.” A szöveg egy jelenséget mutat be, ahol alanyok és tevékenységek vannak. Hogyne kelljen állandóan körbemagyarázni, a kiindulópontként használt alanyok szerepelnek. Ennek megértése abban tükröződik, hogy „személyeskedés”. A jelenségről szó nem esik, feltehetően nem véletlenül. No komment.

#45: „Hát igen, lassan úgy tűnik tényleg csak én értek hozzá. Azt mondod szükség van az irracionális számokra a térbeli pontok leírásához. Miért is? Ismersz olyan objektumot, aminek csak irracionális számokkal lehet meghatarozni a pontos helyét? Mesélj nekem erről többet.”. Nem kívánom #44 kenyerét elvenni a választ illetően, de hozzászólok. Mindenekelőtt, bár felszólították, a kérdező nem definiált műveleteket a saját rendszerében. Ebből következik, hogy bármit ellenvethet. Azonban én kérdését válaszolom meg. Igen, ismerek. A 3D világunk egy pontja objektum. Így a {gyök(2), gyök(2), gyök(2)} pont pontos helyének racionális számokkal való pontos leírását várom, sőt elvárom. Hab a tortán: a pont objektum, de mondjuk a Föld nevű bolygó is egy objektum. Érdeklődéssel várom – kegyes leszek - bármilyen számokkal megadni a pontos helyét. Lássuk, hogy állunk a fogalmak értésével.

#47: „Már miért kéne egyenlőnek lennie minden adatnak két egészen különböző matematikai modellben? A földfelszínt se lehet leírni 2D-s gömbi geometriával, mert más eredményt ad a pontok távolságára, mint a 3D-s eukleidészi geometria?”. 1. az első kérdésben szereplő állításnak és a második kérdésben szereplő állításnak nincs (természetes, nem belemagyarázott, hibás) kapcsolata. Ez fogalomértési probléma. Azonban a második kérdésre: a gömbi geometriában a távolságfogalom azonos az euklideszi tér távolságfogalmával. A számszerű eredmény (a megfeleltetés után) azért nem egyenlő, mert az egyik a két pontot összekötő legrövidebb ív, a másik az őket összekötő térbeli szakasz. És ezek hossza bizony eltérő. Ugyanakkor a földfelszínt le lehet írni gömbi geometriával, sőt meg is teszik, használják is. A geoid forma adta eltéréseket más módon interpretálják, ez most nem tárgya témánknak.

#49: „Te találkoztál már a természetben teljesen pontosan aranymetszésű téglalappal? Merthogy én nem, az egész biztos.”. Téglalapot a természet nem alkot. Téglalap alakú idomot esetleg. Az ember alkot, de a kérdés a természetbelit firtatja. Akkor itt vagy fogalmi vagy természetismereti probléma áll fenn. Ezen túl, szemantikailag, abból, hogy a természetben nem találkozott valaki valamivel, nem következik, hogy nincs is. Megfordítva következik. Szimpla logikai ismerethiány. Vagy felületesség. Nem tisztem választani. Csak megállapítani.

A módszer egyszerű. El kell érni, hogy a partner válaszoljon. Utána ebbe beleköthetünk. Belekötünk, de nem állítunk (a legeleje kivételével, ami a polémiát kiváltotta). Így vég nélkül a partnerek (válaszolók) kritizálhatók, hiszen ők állítanak. Nem létező állításokba nehéz belekötni. Az előbbiekben én mégis erre tettem kísérletet. A célom változatlan. Bemutatni, hogy e hely és ez a mentalitás alkalmatlan a tévútról a helyes irányba terelésre. Nem a cél elérésére, az irányváltásra se.

Nézzünk egy "egyszerűbb" példát az "irracionális koordinátára". Vegyél egy egyenlő oldalú, derékszögű háromszöget, az oldal hossza legyen 1 (egységnyi). Majd készíts egy olyan négyzetet amely egyik oldala a háromszög átfogója. Add meg a négyzet két további sarokpontjának a koordinátáit. (Ez egy elég alapvető kérdés, könnyen kiszerkeszthető, meg ki is szerkeszthető). Pici gondolkodás után az ember eljut odáig, hogy a négyzet oldalhosszúsága pontosan négyzetgyök 2. Ez egy valós, és megfogható téglalap lett.

Aranymetszés: Nem véletlenül ezt a példát hoztam fel. Ugyanis ez volt az egyik első "feladat" ami elvezette a görög matematikusokat az irracionális számokig. Igaz némi zavart okoztak, de eljutottak idáig. Meg az ókori arab matematikusok is (ők már nem emlékszem melyik szám irracionális voltát bizonyították, régen tanultam matek történelmet). Ezt a választ a többi válasz kiegészítésének szántam, az esetleg érdeklődő felhasználóknak. És nyomatékosan kérem a kérdezőt, hogy ne válaszoljon rá!

#47

"Már miért kéne egyenlőnek lennie minden adatnak két egészen különböző matematikai modellben?"

Nem kell, de itt nem független matemaitkai modellek vannak, hanem az egyikkel akarod leképezni a másikat. Akkor azért jó volna, ha műveletek nem random eredményre vezetnének.

"A földfelszínt se lehet leírni 2D-s gömbi geometriával, mert más eredményt ad a pontok távolságára, mint a 3D-s eukleidészi geometria?"

Mondjuk a két esetben a távolság nem ugyanazt jelenti. A 3D eukledszi geometriában a két pont közötti gömbív hossza felel meg a 2D szférikus geometria pontok közötti távolságának.

Amúgy érdekelne, hogy a te esetedben a két pont távolsága minek felel meg a valóságban? Főleg azért, mert az aranymetszéses kritikát azzal utasítottad vissza, hogy olyan úgysincs a valóságban. Ami mondjuk arra mutat, hogy a lényegét nem érted a matemaikai modellezésneek.

> De, koordináta lesz ez a valós szám és megáll minden, ami feltétele a vektortereknek.

Oké, nézzünk egy konkrét példát.

Háromdimenziós térben legyen P=(3;9;7) pontunk. Jelöljük kis p-vel az ehhez tartozó kötött vektort. Háromdimenziós a terünk, tehát van három bázisvektorunk u=(1;0;0), v=(0;1;0), w=(0;0;1). A pont koordinátái nem mások, mint ezen három bázisvektornak a skalárszorzója:

p = 3u + 9v + 8w

Remek, most vegyünk egy vektort, jelöljük „e”-vel, mondjuk e=(2;6;4)

Toljuk el a P pontot ezzel a vektorral. Ekkor a pontunkhoz tartozó kötött vektor így fog kinézni:

p₂ = p + e = (3u + 9v + 8w) + (2u + 6v + 4w) = 5u + 15v + 12w = (5;15;12)

És ez bír geometriai és nem mellesleg fizikai realitással. A, hogy a P pontnak az x koordinátája 3, az jelenti azt, hogy az YZ síktól 3 egység távolságra van. Az eltolás után meg 5 egység távolságra került.

~ ~ ~

Nézzük ugyanezt a te rendszeredben. Jelöljük a te egységvektorodat „z”-vel. A te pontod – ha jól értem a képzési módszeredet – ez lesz: P=(397). Az eltolást jelentő vektor meg ez lesz: e=(264)

p = 397z

e = 264z

p₂ = p+e = 397z + 264z = 661z

Oké, csakhogy az adott „P” pont az adott „e” vektorral eltolva bizony nem a (661)-es koordinátára kerül.

Ha most visszaírom 3D-be, akkor:

(3;9;7) + (2;6;4) ≠ (6;6;1)

Vagy mi az a „z” egységvektor, amiben ez az egész geometriai jelentéssel bír? Milyen valós geometriai tulajdonságot reprezentál a P pont eredeti 397-es koordinátája? Milyen valós tulajdonságot az eltolás utáni 661-es koordinátája?

Még ott lehetne menteni a koncepciót, hogy ebben az általad konstruált vektortérben nem az összeadás művelete reprezentálja a geometria eltolás műveletét. Oké, de akkor milyen művelet az, ami reprezentálja az eltolás műveletét, ami a koordináta értékén lehet elvégezni, függetlenül attól, hogy pl. milyen számrendszerben írod le egy papírra?

Mert nyilván el lehet játszani, hogy a szám koordinátáit átalakítjuk újra 3D-s koordinátákra, ott elvégezzük a megfelelő összeadásokat, majd visszaalakítjuk 1D-s koordinátákra. De minek? Illetve akkor az, hogy pont 3 csoportba kell szétbontani az 1D-s koordinátáid számjegyeit, az nem valami alapvető tulajdonsága-e a te „vektorterednek”, és ez nem tökéletesen ekvivalens a fizikai tér dimenzióinak számával?

~ ~ ~

> Te azon vagy fennakadva, hogy a számegyenes nem úgy néz ki a lelki szemeid előtt, mint az Univerzum.

Pontosan. A te konstruált számegyenesed, mint vektortér nem írja le helyesen a fizikai világ valós jellegét.

> Ez nem matematikai, de még csak nem is fizikai probléma, hanem pszichiátriai.

De, alapvetően ez fizikai probléma. A teáltalad konstruált matematikának nincs fizikai realitása.

> Vagy jól értem, hogy szerinted a fizikusok emberközpontúra csinálták a fizikát, és nem is érdekli őket a valóság?

Lásd az #52-es választ. A fizikai világ olyan, amilyen. A fizika, mint tudomány ezt modellezi a matematika segítségével. A matematika – mivel absztrakt rendszer – elbír kvázi bármit. Hogy egy adott matematika alkalmas-e a fizikai világ modellezésére, azt fizikai megfigyeléssel lehet ellenőrizni.

Ugye volt ilyen a történelemben. Ott az euklideszi geometria. Jó ideig azt gondoltuk, ez írja le a fizikai világot. Aztán jöttek a nemeuklideszi geometriák. Van matematikai szempontból három geometriacsaládunk. Az egyikben egy ponton át egy egyeneshez egy párhuzamos húzható. A másikban végtelen sok. A harmadikban egy sem. Matematikai szempontból nincs különbség közöttük, ugyanolyan axiómákra épülnek, csak egy axiómában különböznek. De az már fizikai kérdés, hogy melyik geometria írja le a mi fizikai világunkat. Sokáig azt gondoltuk, hogy az euklideszi, aztán kiderült, hogy nem. Persze bizonyos keretek között az euklideszi geometria megteszi ma is, mert adott peremfeltételek esetén az eltérés az euklideszi geometria által számoltak és a fizikai világban történtek között csekély, talán nem is mérhető, de mindenesetre nem lényeges.

Szóval a matematika elbír 538 féle geometriát. Hogy melyik alkalmas a fizikai világ leírására az meg a fizikai világ természetéből fakad. A te koordinátageometriád a hagyományos vektortér összefüggésrendszerében nem írja le helyesen a fizikai világot. Maximum eltehetjük a fiókba „hátha jó lesz még valamire” alapon.

> Jól értem, hogy azért állítod, hogy 3 dimenziós a világ, mert te 3 dimenziósnak képzeled el?

Nem, hanem mert a fizikai folyamatok konzisztens módon utalnak erre. Pl. egy n dimenziós térben egy anyagsűrűség vagy energiasűrűség egy adott, (n-1) dimenziós felületen oszlik el. Mivel úgy találtuk, hogy ezek a távolság négyzetével – második hatványával – fordítottan arányosak, így pusztán csak ebből következik az, hogy a tér 3 dimenziós. Még az is fel szokott merülni, hogy mi van, ha mi egy 4 vagy 5 dimenziós tér egy metszetén vagyunk. Nos mivel a kölcsönhatások által kifejtett erő a távolság négyzetével fordítottan arányos, nagyon úgy tűnik, hogy ha mi egy magasabb dimenziójú tér egy metszetén vagyunk, hát akkor minden általunk ismert kölcsönhatás kizárólag ebben a metszetben terjed, a mi világunkra merőlegesen nincs kölcsönhatás, és mivel nincs kölcsönhatás, így a magasabb dimenziójú tér feltételezése falszifikálhatatlan.

A fizika pont azért használja a matematikát eszközül, hogy ne kelljen elképzelni tudni valamit ahhoz, hogy kezelni tudjuk. Ha nem is térként, de léteznek sokdimenziós rendszerek. Mondjuk egy haszonnövény terméshozama függ a talaj mindenféle ásványi anyag tartalmától, a terméshozam felírható akár egy 30 paraméteres függvényként, ami meg ábrázolható lenne egy 31 dimenziós diagramon. El tudok képzelni egy 31 dimenziós diagramot? Nem. És? Ettől még tudom ezt a függvényt deriválni, ki tudom számolni különböző mérési eredmények interpolációiból, hogy hol van a maximum a ennek a függvénynek.