Van e olyan valós fv. Amely szig. Mon. Nő. És csak irracionális értéket vesz fel?

"Az x+gyök2 függvény nem csak -gyök2-nél szakad, hanem k-gyök2-nél is, ahol k racionális. "

Na és?

A feltétel szerint x eleme Q, ha x=k+gyök2 és k eleme R, akkor x nem lehet racionális, vagyis nem része az ÉT-nak. :)

Tájékoztató jelleggel írtam csak, mivel régebben azt írtad, hogy akkor a "-gyökkettőt" kihagyjuk az értelmezési tartományból.

A kérdező szerint a függvény R->R-be képez, amit én R->Q*-ra módosítanék (elvégre csak irracionális érték megengedett).

Nem vagyok valami húdenagy matekos, de mi lenne, ha azt a függvényt vennénk, ami a számhoz a "legközelebbi", a számnál nagyobb irracionális számot rendeli. Például most tekintsük úgy a számegyenest, hogy az 1 mellett a gyök2 szerepel, ekkor a függvény az 1-hez a gyök2-t rendeli. Tudom, hogy ez véges sok számmal elég hülyén néz ki, de tudjuk, hogy a végtelenben furcsa dolgok is megtörténnek, gondolok itt arra, hogy a [0;1] intervallumban ugyanannyi szám van, mint az R halmazon. Ezzel a függvénnyel (gondolom én) ott lehetne a probléma, hogy két számhoz ugyanazt a számot rendeli, ez akkor lehet, ha egy irracionális szám után racionális szám következne, de szerintem tetszőleges két szám között is végtelen sok szám van, akár racionális, akár irracionális. Ezzel kizárható az, hogy bizonyos helyeken csak monoton növő függvény legyen. Azt hiszem, hogy a növekedést nem kell külön leírnom.

Az egy más kérdés, hogy a függvény nem ábrázolható (speciel a Dirichlet-függvényt se nagyon lehet ábrázolni).

Talán még az lehet a probléma, hogy nem tudjuk definiálni a "legközelebbi" számot, ezért a függvénynek nincs értelme, de majd a nálam okosabb, matematikában jártasabb emberek kifejtik véleményüket :)

Sajnos számossági probléma nincs, R számossága ugyebár azonos Q* számosságával (alef-1).

Még csak az sem nyilvánvaló, hogy az összes irracionális szám előáll fgv-értékként.

Várjuk a bizonyítást.

(Nem akarok senkit megsérteni, de meglepő, hogy a 80-90%-os válaszolók e témában ennyire zavaros, hibás gondolatmeneteket produkálnak...)

Az egészen biztos, hogy létezik ilyen függvény. Ezen a linken található erre egy korrekt bizonyítás, de ehhez kicsit mélyebb halmazelméleti ismeretekre van szükség.

[link]

Sajnos ez a bizonyítás konkrét példát nem ad. Viszont az látható, hogy azzal kár próbálkozni bárkinek, hogy az ellenkezőjét igazolja.

(Annak meg természetesen semmi értelme, hogy a racionális számhoz "legközelebbi irracionális szám", meg egyebek, és sajnos ezt a gondolatot korrekt módon rendbetenni sem lehet.)

Hátha valakinek beugrik erről valami:

Legyen a függvény:

x+gyök(2), ha x racionális,

x+1, ha x irracionális

Ha jól tudom, akkor egy racionális és egy irracionális szám összege mindig irracionális, így a függvény biztosan csak irracionális értékeket vesz fel. Ezzel a függvénnyel az a baj, hogy bizonyos helyeken nem fog nőni a függvény, például 1-nél 1+gyök(2), gyök(1,1)-nél gyök(1,1)+1, és szemmel láthatóan 1-nél nagyobb értéket vesz fel, mint gyök(1,1)-nél, de talán valakinek beindítja a fantáziáját! :)

Na szedjük össze. X eleme Q, f(x)=x+gyök(2) hol ad racionális értéket?

Sehol.

Ez a függvény működik.

Akármilyen irracionális konstanst rakok gyök(2) helyére.

Aki ÉK-ben folyamatos függvényt keres, eleve meg van lőve.

Ha olyat kerestek, ami a teljes (nem komplex) valós számtartományra mint értékkészletre mindig irracionális függvényértéket ad, akkor szerintem nyugodtan feladhatjátok a harcot.

Ha x értéke folytonos a valós számok készletén, akkor f(X)-re mindig lesz racionális érték is. Éppen a folyamatosság miatt.