Van e olyan valós fv. Amely szig. Mon. Nő. És csak irracionális értéket vesz fel?

Pl. ha az alaphalmaz az irracionális számok halmaza, akkor az f(x)=x eleve jó.

Kérdés, hogy mi lehet az alaphalmaz?

Kell-e, hogy az egész valós számhalmazon kell értelmezni?

Nem kell, hogy az alaphalmaz az irracionális számok halmaza legyen.

Legyen x tetszőleges valós szám.

Vedd az x szám végtelen tizedestört alakját, X egész a_1a_2a_3, ... tehát a_i a számjegyek. Ekkor f(x) az alábbi szám legyen összeolvasva tizedesvessző után: X,a_1,1 a_2,10,a_3,100,a_4,1000,stb... (tehát a számjegyek közé növekvő 10-hatványokat szúrsz).

Ez nyilvánvalóan szigorúan monoton növekvő, és nyilvánvalóan irracionális értéket vesz fel, hiszen a növekvő 10-hatványok miatt nem lehet benne ismétlődő szakasz.

Folytonos függvény nem lehet. Mert a számegyenesen két irracionális szám közt végtelen darab racionális is van és fordítva.

A függvény végtelen sok szakadással rendelkezne.

Na mondok egyet. x eleme R, f(x)=x+gyök2

A gyök2 irracionális, végtelen tizedes tört. Ha racionális számot adsz hozzá, sohasem lesz racionális az összeg. :)

Valaki dobhatna hozzá egy rövid bizonyítást, ami igazolja, hogy racionális és irracionális szám összege biztosan irracionális szám.

Mert pironkodva bevallom, ezt sima matematikai logika alapján tekintettem triviális szabálynak, de a bizonyítását nem vezettem le.