Állítás: tg5° irracionális?

A "tangens (alfa+béta)=(tangens alpha + tangens béta)/(1- tangens alpha * tangens béta)" szabályból következik. Mit jelent ez? Hogyha alpha és béta szög is olyan, hogy a tangensük racionális, akkor az összegük tangense is racionális!

Emiatt, ha egy x szög tangense racionális, akkor ugyanez elmondható x+x-ről, (x+x)+x-ről, ((x+x)+x)+x-ről, stb... vagyis akárhányszorosa a szögnek (a szorzó persze egész szám).

Tegyük fel, hogy tg 5° racionális. Ekkor 6x-nek is racionális kell, hogy legyen a tangense, de nem az, mert 6x=30°, az ő tangense pedig 1/gyök(3).

Egy apróságot még figyelembe kell venni: az összeg tangense nem feltétlen létezik, pl. 90°-nak nincs tangense. Ebben az 5°-os példában viszont csak az 5°, 10°, 15°, 20°, 25°, 30° szögek fordulnak elő a gondolatmenetben, azokkal nincs ilyen baj.