Van két irracionális szám "a" és "b". Az a^b hatvány racionális? Mi lehet ez a két szám? Nagyon érdekelne.

Például:

ln - természetes logaritmus, alapja az "e", ami irracionális és transzcendens szám

N - valamilyen egész szám

lnN = a, ebből:

N = e^a

az "a" szintén irracionális szám lesz

Bizonyítás:

tételezzük fel, hogy „a“ racionális szám, vagyis írhatjuk: a = a1/a2; a1, a2 – egész számok, tehát:

N = e^(a1/a2), ebből:

N = (e^a1) ^(1/a2) = a2√(e^a1);

(a2√ – az „a2“ –edik gyök, vagyis ha a2=2, akkor négyzetgyök, a2=3, akkor köbgyök, stb.)

az „e^a1“ mindenképp irracionális szám lesz, mert az „e“ egész számú hatványai irracionális számok, mivelhogy az „e“ transzcendens szám; namármost ennek az irracionális számnak az „a2“-edik gyökének kellene lennie egész számnak, vagyis az „N“ –nek, na ez meg aztán végképp nem megy. Ebből az következik, hogy az „a“ irracionális.

Lásd. még:

[link]

[link]

Ha esetleg arról van szó, hogy az "a" és a "b" ugyan irracionális, de nem transzcendens, akkor erre nem tudom a választ. Ebben az esetben javaslom, hogy írd ki még egyszer a kérdést, valahogy így :

"Létezik két olyan irracionális, de nem transzcendens "a" és "b", melyre érvényes: a^b=racionális szám?"