Hogy lehet bebizonyítani, hogy az irracionális számokat nem lehet sorba rendezni, megszámolni?

Mivel ezek végtelen, nem szakaszos tizedestörtek, ezért nem tudod kiszámolni az utolsó jegyüket, tehát sorba rendezni sem tudod őket.

Az, hogy megszámolni nem tudod meg azért van mert végtelen sok ilyen van.

Na de én is érzem, hogy amit írtam az nem túl matematikus, úgyhogy írjon valaki aki jobban ért hozzá.

indirekten. Tegyük fel, hogy lehet, valahogy sorba rendeztük az összes irrac számot (könnyebb elmondani valósokra, és mivel tudjuk, hogy a racionálisokat lehet sorba rendezni, így az, hogy az irracionálisokat nem, az már következik ebből).

Most legyártunk egy olyan valós számot ennek segítségével, ami nem szerepel a felsorolásban, így ellentmondásra jutunk:

az egész része tök mindegy mi, a tizedes vessző után az i-edik helyre egy olyan számjegyet rakok, ami NEM azonos, mint a felsorolásban az i-edik tagban az i-edik jeggyel.

Ezzel kapsz egy valós számot, ami nem lesz azonos egyetlen valós számmal sem a sorrendből.

Itt most arra kell vigyázni, hogy valós számoknak többféle is lehet a tizedes tört alakjuk (pl. 1=0,999999..), ezt úgy lehet kiküszöbölni, hogy a felsorolásunkban a valós számoknak csak azt az alakjuk szerepeljen, amik nem olyanok, hogy egy idő után végtelen 9es szerepel a tizedes alakjukban, és a legyártott számunkban is vigyázunk rá, hogy ne ilyen alakú számot kapjunk, tehát pl. 9es számjegyet soha nem írunk be.

azt jelenti, hogy amikor indirekten feltettem, hogy van sorba rendezés a valós számokon, akkor vettem egyet, pl.

2,325445...

325,1839...

0,73621...

...

Most csak a számok első néhány számjegyét irtam fel, mert a sorozat elején csak azokra van szükségem, de utána még mennek számjegyek (ha más nem, csupa 0).

MOst le akarok gyártani egy olyan valóst, ami nincs felsorolva, akkor azt úgy csinálom, hogy 0, és az első helyre a tizedes vessző után egy olyan számjegyet irok, ami nem azonos az első szám azon a helyen lévő számjegyével, jelen esetben a 3mal, és technikai okból ne legyen egyenlő 9cel se, mert az macerákat okozhatna. szóval pl. erre a helyre a 6rgy jó szám, tehát a számunk eddig 0,6.. alakú, egyetlen igy kezdődő szám se lehet egyenlő az első számmal a felsorolásban (2,325445...-vel), hiszen legalább egy helyen más számjegy áll, mint ott.

A következő helyre olyan nem 9 számjegyet akarok rakni, ami nem azonos a sorrendben a második számban ezen a helyeen álló számjeggyel, ez a 8. Tehét pl. a 7 jó lesz, a számunk most 0,67.. alakú, az igy kezdődő számok már a felsorolásban az első két számmal nem lehetnek egyenlőek, hiszen mindkettőtől eltér legalább egy számjegyben a tizedes tört alakjuk.

Hasonlóan a harmadik helyre egy olyan számjegy kerül, ami nem 9 vagy 6, pl. 5. A számunk most 0,675..alakú, ezzel már az első 3 számot kizártuk a sorrendből.

Igy folytatva egy olyan végtelen törtet kapunk, ami nem szerepel a felsorolásban, mert ha szerepelne, akkor valamilyen véges i-edik helyen szerepelne, de attól eltér az i-edik számjegyben a tizedes vessző után.