Biztos, hogy a pi egy irracionális szám és semmilyen szakaszosság nincs a többmilliomodik tizedesjegy után?

A pit már több BILLIÁRD számjegyig kiszámolták.

billiárd = millió * milliárd.

Szóval igen, ekkora mérték után igen valószínűen vonhatjuk le a következtetést, miszerint nem ismétlődik periodikusan.

Egy irracionális számról nem így szokták bizonyítani, hogy tényleg irracionális-e.

Ha nincs a többmilliomodik tizedes jegy után nincs több tizedesjegye, akkor az már nem irracionális.

Pl. a gyök kettő irracionalitását így szokták bizonyítani:

Tegyük fel az ellenkezőjét, hogy gyök 2 racinális.

Ekkor felirható két egész szám hányadosaként:

gyök(2)=a/b

Ebből következik:

a^2/b^2=2

A számelmélet alaptételéből következik, hogy a-nak és b-nek egyértelműen létezik prímtényezős felbontása, amit fel lehet írni a = 2xk és b = 2ym alakban, ahol x és y nemnegatív egészek, m és k pedig páratlan nemnegatív egészek.

Tehát a² = 22xk² és b² = 22ym².

Ha ezt behelyettesítjük a (3). lépésbe, akkor azt kapjuk, hogy 22xk² = 2·22ym² = 22y+1m².

Tehát azt állítjuk, hogy egy prímtényezős felbontás, amelyben 2 páros kitevőjű hatványa van (a kitevő 2x) megegyezik egy olyannal, amelyben a 2 páratlan kitevőjű hatványa szerepel (a kitevő 2y+1). Ez ellentmond az egyértelmű prímfelbontásnak, tehát az indirekt feltevés hamis volt.

De más számoknál is be lehet bizonyítani az irracionalitás nem mindig ilyen módon. De ez egy példa volt rá.

Pi irracionalitása is bizonyított ott azért, mert a pi-nek egyrészt deffinciójaiból a végtelen sorok miatt következik ez). De nem minden irracionális szám "irracionalitása" bizonyítható ilyen könnyen, pl. e+pi irracinalitására még nincs bizonyíték.

Nemhogy nem így szokták, de nem is lehet így bizonyítani egy számról a racionalitását, hogy megnézzük sokáig... (ha nincs ismétlődés, attól még lehet, hogy később elkezdődik - de ha van ismétlődés, attól még lehet, hogy később már nem stimmel).

A pi irracionális (sőt, transzcendens: tehát nem csak elsőfokú, de semmilyen egész együtthatós polinomnak nem gyöke), erre egy viszonylag bonyolult bizonyítás van, sokkal nehezebb, mint a gyök(2) esetén.

Valóban (pi+e)-ről nem tudjuk, hogy irracionális-e (persze a sejtés az, hogy nyilván igen, csak bizonyítva nincs), ugyanúgy (pi*e)-ről sem, viszont azt tudjuk, hogy a kettő közül legalább az egyik irracionális.

A pi irracionális volta bizonyított tény.

[link]

Több matematikus is bizonyította:

www.math.unideb.hu/~tengely/images/SzaboMariannDM.pdf

J. H. Lambert bizonyítása:

[link]