Algebrailag hogyan jön ki ennek az egyenletnek a megoldása?

Az e^x exponenciális függvény szigorú monotonitása (növekedése) miatt az egyenletnek csak ott lehet megoldása, ahol a kitevők egyenlőek, tehát

a*x+b = c*x

Ha a=c, akkor csak b=0 esetén lehet megoldás, viszont akkor azonosságot kapunk, egyébként pedig x=b/(c-a) lesz az eredménye.

Ha esetleg az e nem az Euler-féle szám szeretne lenni, hanem szintén paraméter, és a mindkét oldalon lévő függvény valósból valósba képez, akkor:

-ha e<0, akkor eléggé komplikált az esetszétválasztás, így inkább azt most nem írom le

-ha e=0, akkor azonosságot kapunk, amennyiben mindkét oldalon a kitevő pozitív, tehát az a*x+b>0 és c*x>0 egyenlőtlenségrendszert kell megoldani

-ha 0<e<1, akkor mindkét oldal szigorúan monoton csökken, tehát a fent leírtak igazak lesznek rá

-ha e=1, akkor azonosságot kapunk

-ha e>1, akkor szigorúan monoton növekedés lesz mindkét oldalon, tehát a fent leírtak lesznek igazak

A szinuszfüggvény nem szigorúan monoton (legfeljebb szakaszosan), emiatt nem csak akkor kapunk megoldást, hogyha az argumentumokat egyenlővé tesszük, hanem egyéb átalakításokkal is nyerhetőek megoldások. Éppen emiatt akkor lenne jogos az egész kritikád, hogyha az elsőnek felírt egyenletet így oldottam volna meg:

x = x+2π, amire 0=2π adódik, tehát az egyenletnek nincs megoldása.

Saját szemeddel láthatod, hogy semmi ilyesmi nem történt.

Szóval; ki rugózik azon, hogy a másikat képtelen megérteni?

Na, mi van? Megállt a tudomány? Vagy annyira megleptelek, hogy elállt a szavad is?

Vagy esetleg sikerült magadba nézned, és rájöttél, mekkora baromságokat sikerült leírnod?

Közben rájöttem, hogy mi lenne a legprecízebb megoldási mód. Bevallom, hogy engem is zavart egy kicsit, hogy ugyan minden k egészre ki kellene jönnie az eredménynek, mégis csak egy k-ra lesz igaz, de ennek a feloldása az, hogy ha sin(A)=sin(B), akkor sin(A)=sin(B+k*2π) nemcsak azt jelenti, hogy 2π múlva ugyanazt az értéket fogja a szinusz felvenni, hanem azt is, hogy létezik olyan k egész, hogy a szinuszok argumentumai egyenlővé tehetőek. Ezért is működik az a módszer, amit az ilyen alakú egyenleteknél tanítanak, csak azonosság esetén egy kicsit más alakot vesz fel a végeredmény.

A legprecízebb megoldási mód az - ami ezt a speciális esetet is lefedi, minden fennakadás nélkül -, hogy az argumentumokat nem egyenlőségként írjuk fel, hanem kongruenciaként. Tehát

x == x+k*360° mod(360°), amire

x == x mod(360°) adódik, ami pedig minden x-re igaz lesz, és minden k egészre.