A) Oldjuk meg a következő egyenletet: |x-1| + |x-2| +…+|x-2018| = 2019* (x-2019), b) Igazoljuk, hogy az |x+1| + |x+2| +…+ |x+2019| = p; (p > 0) egyenletnek pontosan egy megoldása van?

A) A bal oldalon mindenképp nemnegatív szám áll, ekkor viszont a jobb oldalnak is nemnegatív számnak kell lennie, ami csak úgy lehetséges, ha x legalább 2019. Ekkor viszont a bal oldalon az összes abszolút érték elhagyható, s azt kapod, hogy:

2018x-(1+2+...+2018)=2019x-2019*2019

A számtani sorozat összegképletét használva és átrendezve:

2019*2019-2018*2019/2=x

x=2019*(2019-1006)=2019*1013=20045247

Mivel ez a szám valóban nem kisebb 2019-nél, a megoldás helyes.

B) A feladat hibás, ezt nem lehet igazolni, ugyanis az állítás nem igaz. Vegyünk ugyanis egy 0,5-nél kisebb, de még pozitív p-t. Ha x>=-1,5 akkor|x+2|>=0,5 miatt a bal oldalon álló összeg biztosan nagyobb vagy egyenlő 0,5-nél. Ha viszont x<-1,5, akkor viszont |x+1|>0,5 lesz, s így a bal oldalon álló összeg megintcsak nagyobb, mint 0,5. Tehát egészen biztos, hogy 0<p<0,5 paraméter-értékekre az egyenletnek semmiképp nem lehet megoldása. Az igazolandó állítás tehát nem igaz.

#2-es: az a)-t szerintem elszámoltad:

[link]

a b)-nél szerintem úgy van a feladat, - ha már ezt is ki kell találni :D, - hogy létezik olyan p, amikor pontosan egy megoldás van. Mert általában 0 vagy 2.

ha x = -(1+2019)/2 = -1010 ==> p=1019090, akkor 1 megoldás van.

Ha p ennél kisebb, akkor 0, ha nagyobb, akkor 2.

#2 voltam. Elnézést, valóban elszámoltam, az utolsó sorban véletlenül 1006-ot írtam 1009 helyett, s nem vettem észre ezt a nyilvánvaló elírást. Így az utolsó sor helyesen:

x=2019*(2019-1009)=2019*1010=2039190