Hogy tudnám kiszámolni egy test sebességét?

> p-re: „m*{[l*sin(q)]^2}*p"+2*m*p'*l*cos(q)*q'=0.”

Ha megnézted volna a dimenziókat, akkor láthatnád, hogy a második tag nem energia, hanem erő, ráadásul a sin(q)^2 deriváltjából kihagytad a sin(q). Annyiból mondjuk jogos, hogy én elfelejtettem, hogy a q-nak is lehet időfüggése, nagyon a fejemben volt, hogy körpályán mozog, aminek a síkja nem változik, tehát q állandó. Tényleg helyesen:

2*m*l^2*cos(q)*sin(q)*q˙*p˙ + m*l^2*sin(q)^2*p˙˙ = 0.

> „q-ra: m*l^2*q"-m*l^2*cos(q)*p'^2+m*g*l*sin(q)=0.”

Ebben is van hiba. Ugyanúgy rosszul deriváltad a sin(q)^2-et, viszont annyiból jogos, hogy az enyémben az utolsó sin(q) helyett cos(q) lett. Korábban is elrontottam egy ilyet, de talán fel se tűnt, pedig írtam róla utólag. Helyesen:

m*l^2*q˙˙ = m*l^2*cos(q)*sin(q)*p˙^2 – m*g*l*sin(q).

Ha át akarnám venni, a „de hát hibahatáron belül vagyunk, tehát nem rontottam el semmit” áltudományos retorikát, akkor csak a cos(q)-s elírást kéne elismernem, mert attól eltekintve az előző oldalon a végeredményem összhangban van az első oldalon kiszámoltakkal:

m*l^2*q˙˙ = 1/2*m*l^2*sin(2*q)*p˙^2 – m*g*l*sin(q),

mivel a test körbe-körbe mozog, ezért egy síkban marad, ez csak úgy lehet, ha q = α állandó, tehát:

1/2*l*sin(2*q)*p˙^2 = g*sin(q),

sin(2*q) = 2*sin(q)*cos(q) a trigonometrikus azonosság alapján, tehát

cos(q)*p˙^2 = g/l.

A másik egyenletből (ez a tegnapi, de ugye q = állandó miatt a mostaniból is következik)

m*l^2*sin(q)^2*p˙˙ = 0,

p˙˙ = 0, (kivéve, ha q = 0, de akkor úgy is csak áll a test, szóval az nem sokat mond), tehát p˙ = ω állandó, ez van adva a feladatban a periódusidővel. Visszaírva a másikba:

cos(q)*ω^2 = g/l,

α = q = arccos(g/l/ω^2) = arccos(g*T^2/(4*π^2*l)) ≈ 60,2°,

ami nem csak hogy 10%-on belül, hanem EGZAKTUL a helyes eredmény. A kérdéses v sebesség pedig

v = r*ω = 2*π*l*sin(α)/T ≈ 5,45 m/s.

> „Az energiák számításához mindegy hova veszed fel a koordinátarendszert.”

A mozgásegyenlet szempontjából valóban.

> „A rendszer összes mechanikai energiája invariáns a koordináta transzformációval szemben.”

Ha van egy m = 1 kg tömegű álló test mondjuk z = 3 m magasságban, akkor a homogén gravitációs térben (a példa kedvéért g = 1 m/s^2) a helyzeti energiája m*g*z. De ha őt vesszük a koordináta-rendszer origójába, akkor z = 0 lesz. Most akkor azt mondod, hogy a 3 J és a 0 J ugyanaz? Pontosíts, kérlek!

> „Én amúgy azért írtam csak egy általánosított koordinátát, mert a feladatot síkbeliként lehet kezelni. Azaz amit te p-vel jelöltél az ekkor kiesik. De így is jó.

Ha csak síkban dolgozunk akkor egyetlen hiányos másodrendű egyenletet kapunk, ami a következő:

q"+(g/l)*sin(q)=0.”

Az eredeti kérdés, ugye, a test sebessége. Levezetnéd azt nekünk ebből az egyenletből? Csakhogy lássuk, nem a levegőbe beszélsz, és érted a dolgod!

Nem tudom, mit kavartok...

Ha vízszintes síkban megy körbe-körbe a test, akkor a sebességét már az első oldalon tök jól levezették. Ha a sík függőleges, akkor csak annyi van, hogy az energiamegmaradás miatt:

1/2*m*l^2*omega^2 + U(alfa) = E,

omega = d(alfa)/dt = sqrt(2*(E - U(alfa))/(m*l^2)),

ha a pálya felső pontján a sebesség v, akkor

E = 1/2*m*v^2 + m*g*l (a felfüggesztési pont magasságában kijelölve a U 0 szintjét),

U(alfa) = -m*g*l*cos(alfa), tehát

dt = d(alfa)/sqrt(2*(1/2*m*v^2 + m*g*l + m*g*l*cos(alfa))/(m*l^2)),

T = int(1/sqrt(v^2/l^2 + 2*g/l*(1 + cos(alfa))), alfa = 0..2*pi) = 2*l/sqrt(v^2 + 2*g*l)*int(1/sqrt(1 + 2*g*l*cos(alfa)/(v^2 + 2*g*l)), alfa = 0..pi),

ami éppen egy teljes elsőfajú elliptikus integrál, azaz

T = 4*l/sqrt(v^2 + 4*g*l) * K(1/(v^2/(4*g*l) + 1)),

a*sqrt(v^2 + b) = K(1/(v^2/b + 1)),

ahol a = T/(4*l) = 0,25 s/m és b = 4*g*l kb. 78,48 m^2/s^2 a kérdező adatai alapján.

Ez persze egy nem lineáris egyenlet, amit numerikusan megoldva kijön, hogy a sebesség a felső ponton körülbelül 3,68 m/s.

[link]

Ez kerekítve 8-szor és 9-szer nagyobb, mint amit ti kiszámoltatok, miközben variációszámítással meg Lagrange-egyenletekkel dobálóztok, pedig egy ezt az egyenletet így 3 tizedesjegyre pontosan megoldani még középiskolás intervallumfelezéses módszerrel se bonyolult, ha megtaláljátok K értékeit egy táblázatban.

Persze ezzel a sebességgel se marad körpályán, mert acp-re kisebb érték jön ki (6,77 m/s^2), mint g a legfelső ponton, így az a konklúziótok véletlenül helyes, hogy nem mozoghat függőleges síkú körpályán, ha madzagon lóg.

Ha a 86%-os leírta volna értelmesen, hogyan számolt, akkor talán meg tudnám mondani, mit rontott el. De így, hogy csak odavetette, hogy 42 cm/s, nem tudok rajta segíteni...

Ha pedig részleteiben érdekel a mozgás, akkor ugye a fenti integrálban valamilyen fí szögig integrálva a 2*pi helyett, sok fí szögre meg tudjuk mondani, hogy mennyi t(fí) idő alatt ér oda a test, ezt invertálva pedig megkapjuk a fí(t) függvényt, amiből már bármit tudunk számolni. (Persze numerikus lesz a dolog.)

Ha könnyű, merev rúdon fordul körbe, akkor amíg elér a legalsó pontból a legfelsőbe:

alfa: [link]

v: [link]

Az átlagsebességét,

<v> = 2*pi*l/T ≈ 6,28 m/s-ot 110°-os alfánál és körülbelül 462 ms elteltével veszi fel;

az átlagsebességének négyzetét,

<v>^2 ≈ 19,7 m^2/s^2-et 147°-nál 710 ms körül;

végül pedig a sebességnégyzetének átlagát,

<v^2> = 2*int(v^2, t = 0..pi)/T ≈ 43,7 m^2/s^2-et 103°-nál, nagyjából 427 ms elteltével.

Az átlagos kinetikus energiája ez alapján körülbelül 43,7 J.

#22-nek: Valóban, belátom este fáradt voltam, így én sem teljesen jól írtam fel az egyenleteket.

Amúgy amit számolsz, szerintem összekeverted a p és q koordinátákat.

Mert a Lagrange-egyenleteket úgy írtuk fel, hogy q=0 esetén a potenciális energiának minimuma p-től függetlenül.

Ennek ellenére, amit most számoltál, ott U(p) kapcsolatot tételezel fel, ami nem helyes.

Pont fordítva kell, p=konst, és q-ra kell levezetni, amit te p-re csináltál.

Legalábbis amennyire átfutottam a levezetésed, ezt látom.

egyéb:

"Ha van egy m = 1 kg tömegű álló test mondjuk z = 3 m magasságban, akkor a homogén gravitációs térben (a példa kedvéért g = 1 m/s^2) a helyzeti energiája m*g*z. De ha őt vesszük a koordináta-rendszer origójába, akkor z = 0 lesz. Most akkor azt mondod, hogy a 3 J és a 0 J ugyanaz? Pontosíts, kérlek! "

Nem szokás közvetlen olyannal számolni, hogy abszolút energia, már pedig te most azt csinálod.

Ez nem véletlen, a tételek úgy vannak kidolgozva, hogy mindig energiakülönbségre épülnek.

Ha pl. tekintük egy konzervatív mechanikai rendszert amelyet m*q"+f(x)=0 alakú egyenlet ír le, levezethető hogy hogy a kinetikus energia és a potenciális energia összege állandó.

Ugyanis ha beszorozzuk az egyenlet mindkét oldalát q'-vel, és idő szerint integrálunk, akkor látjuk, hogy m*q"*q'=dT/dt, ill. f(x)*x'*dt=f(x)*dx, és így ha az integrálást az 1 és 2-es állapotok közt végezzük, akkor

T2-T1=U(x2)-U(x1), ill. átrendezve

T1+U(x1)=T2+U(x2)=konst. adódik és ez a mechanikai összenergia.

Az egész Lagrange-egyenletek mögött ez van. Energiaközpontú megközelítés. Variációszámításnál pedig nem véletlen dolgozunk a különbséggel, az L=T-U Lagrange-függvénnyel, mert a funkcionálnak pedig csak ezzel lesz szélsőértéke.

"Az eredeti kérdés, ugye, a test sebessége. Levezetnéd azt nekünk ebből az egyenletből? Csakhogy lássuk, nem a levegőbe beszélsz, és érted a dolgod!"

Át kell írni az egyenlet Cauchy-átírással elsőrendű rendszerré.

Legyen [y1,y2]^T=[q,q']^T. Itt T a transzponált, mert oszlopvektort ide nem lehet írni.

Ezt deriválva: [y1',y2']=[y2,-4.905*sin(y1)] adódik.

Erre már könnyen meg lehet írni pl. egy negyedrendű Runge-Kutta módszert. Kezdeti feltétel az indítási szögsebesség (vagy kezdősebesség).

Különböző feltételekről indítva, meg kell nézni mikor lesz a periódusidő 2 sec.

Nekem a következők jöttek ki:

Indító szögsebesség: 4.8 rad/s, ami 9.6 m/s-nak felel meg. Tehát ez a lenti sebesség.

Ekkor a maximális sebesség fenn: 3.7 m/s-ra adódik. A periódusidő ekkor 1.995 s. (a lépésköz 0.001 s volt).

Néhány eredmény még itt van, akit érdekel:

om_ind=5 rad/s; om_fenn=2.32 rad/s; T=1.78s

om_ind=8 rad/s; om_fenn=6.66 rad/s; T=0.86 s

om_ind=4.5 rad/s; om_fenn=0.8 rad/s; T=2.8 s

om_ind=4.7 rad/s; om_fenn=1.57 rad/s; T=2.15 s.

Ezeknél a lépésköz már csak 0.01 s volt.

Akit érdekel leellenőrizheti.

Azon esetleg még el lehetne gondolkodni, hogy alakulnak a dolgok akkor, ha az m tömeg szintén függőleges síkban mozog, de egy vékony hengerre felcsévélődik.

Például legyen a kötél hossza változatlanul 2m, és minden egyes fordulat megtétele után csökkenjen a hossza 1cm-tert.

Elindítva egy tetszőleges kezdősebességről a testet (a sebesség iránya legyen a feszített kötélre merőleges!)

vajon mi a feltétele annak, hogy a kerületi sebesség (nem az eredő) időben monoton (de nem szigorúan) növő legyen?

Én úgy látom, kell lennie ilyen határesetnek, akinek van kedve, gondolja át.

> „Amúgy amit számolsz, szerintem összekeverted a p és q koordinátákat.”

Szerintem meg nem, ezért nem reagáltam korábban. (Lehet, hogy az a baj, hogy félreértettük, melyik feladatról van szó. A függőleges tengely körüli pörgetést oldottam meg középiskolás módszerrel, és Lagrange-egyenlettel is. De erre rájöhettél volna az eredményből, mondjuk, de nem baj.)

> „Ez bizony helyes megoldás, elismerem. Konzervatív rendszerekre tipikus.”

Legalábbis, ha a pálya ismert (ami egy fontos kritérium, amúgy, ne tessék elfelejtkezni róla). És ahogy elnézem, egy kicsit pontosabbra sikerült, mint a Runge–Kuttád.

máj. 8. 23:45, a tömeg nem 2 kg volt, a kettes szorzókra figyelj, és az átlagsebesség négyzetét ugyanott kéne felvegye, mint az átlagsebességet, de valószínűleg az a baj, hogy rosszul másoltad ki az adatokat a 68%-os válaszából.

"Lehet, hogy az a baj, hogy félreértettük, melyik feladatról van szó. A függőleges tengely körüli pörgetést oldottam meg középiskolás módszerrel, és Lagrange-egyenlettel is"

Lehet, de szerintem akkor is valami fel van cserélve. Most már fáradt vagyok, nincs kedvem átnézni az egyenleteket. Majd legközelebb. Meg egyébként is, neked nem ugyanaz jött ki, mint nekem, tehát valami fel van cserélve. A p és q koordináta, mert nem konzisztens a gravitáció irányával, az eredeti kérdéssel összevetve.

Az energiaalapú integrálos becslés viszont szép. Bár nem tudom, tied -e az a válasz.

"És ahogy elnézem, egy kicsit pontosabbra sikerült, mint a Runge–Kuttád."

Nem a Runge-Kutta pontosságával van a probléma, csak kerekítettem. Ha akarod megadom az eredményt 20 tizedesjegy pontossággal is, de nincs értelme igazából, egyébként is mérhetetlen.

Mellesleg a becslő integrált is numerikusan lehet csak kiszámolni, mert nem létezik zárt alakú megoldás.

Ha Simpsonnal integrálsz, akkor parabolákkal közelíted az integrálandó függvényt. A Runge-Kuttánál is lényegében ez van.

Szóval numerikus eljárásoknál a lépésköz ami igen fontos.

Na meg persze a numerikus eljárásnak az ún. abszolút stabilitása. De ebbe ne menjünk bele, hogy mi az A-stabilitás, mert az már tényleg nagyon-nagyon messze vezetne.

Akár egy külön kérdést is megérdemelne, hogy különböző numerikus algoritmusok hogyan viselkednek, és hogyan befolyásolják a diszkrét dinamikai rendszer stabilitását csillapítási oldalról. De ez hosszadalmas, ha hallottál róla, annak örülök, ha meg nem akkor nem...

Amúgy azt én is el kell ismerjem, hogy végre csináltál valamit, ami valódi számolás, és rendben van.

> „Ekkor a maximális sebesség fenn: 3.7 m/s-ra adódik.”

Láthatod, hogy ez nagyon nem passzol a rossz gondolatmenettel adott

> „Minimális: fennt: v_fenn=0,4899 m/s.”

eredményeddel, amit annyira próbáltál védeni.

De ettől függetlenül sajnos az 5-6 másik kérdésnél, ahol találkoztunk, 3-nál csak a szót szaporítottad, és nem a kérdéssel foglalkoztál, 1-nél pedig kapásból akkora hülyeséget írtál, hogy hamar otthagytad (meg legalább te is egyből beláttad, hogy az ott nem sikerült).