Hogy tudnám kiszámolni egy test sebességét?

> „Olvass vissza, nagyságrendedekről beszéltem, meg közelítésről.”

A 0 és a 20 között elég sok nagyságrend van. Közelítőleg úgy végtelen sok. Szóval nem nagyon szűkítetted a kört. Ráadásul azt írod, hogy 20 N körül van, tehát mondjuk 18 N és 22 N között, vagy 0 és 40 N között, miközben 20 N-nál nagyobb nem is igen lehet. Mondjuk úgy, hogy nem mondtál hülyeséget, mert nem is mondtál semmit, de azt legalább hosszan tetted.

> „Viszont ha minnél gyorsabban forgatja, vele négyzetes arányban nől a centrifugális erő, és annál inkább megközelíti a forgatás síkja a vizszintes síkot. (de azt nem éri el soha).”

Miért forgatná gyorsabban? Lehet, hogy lassabban fogja. Másrészt kár idekeverni a centrifugális erőt, mert az szintén nem anyag középiskolában. (Meg vannak kétségeim, hogy érted a gyorsuló vonatkoztatási rendszereket, de még ha érted is, kár vele összekavarni másokat.)

> „Vagyis mivel összemérhető a két erő, alfa is nem elhanyagolható lesz.”

Az alfád pont akkor lesz elhanyagolható, ha a kötélerő a legkisebb felső korlátját közelíti, tehát ezt fordítva gondoltad.

Másrészt ha nem csak okoskodni, hanem értelmesen hozzátenni szerettél volna a feladathoz, akkor kiszámolhattad volna ugyanúgy az alfát, ahogy én. Csak neked két egyenletet felírni, és azt megoldani túl ijesztő feladatnak bizonyult.

> „Olyan nincs, hogy centripetális irány. A kísérő triéder felvételénél háromféle irány létezik, normális, tangenciális és binormális. De a te kifejezésed nem használható, mert nem létezik!”

Elnevezéseken nem fogok összeveszni, akkor legyen normális irányban. Amúgy annyi történt, hogy a 'centripetális gyorsulás irányát' 'centripetális iránynak' rövidítettem. Jelentkezzen, aki félreértett! Tőlük személyesen is bocsánatot kérek.

> „Nem írok én ezentúl ezeknek semmit!”

Bár tartottad volna magad ehhez… De ha már ilyen nagy a szád, akkor nem bánom, ha kiszámolod, hogy a függőleges síkban forgatás esetén mennyi lesz a maximum és minimum sebesség. Kíváncsian várom.

"A 0 és a 20 között elég sok nagyságrend van. Közelítőleg úgy végtelen sok. Szóval nem nagyon szűkítetted a kört."

Ember, hasonlítsd össze azt az eredményt, amit kiszámoltál egy oldalban az én becslésemmel kicsivel több mint 10% az eltérés. Nem értem miről beszélsz, annak ellenére, hogy az akkori válaszomban is leírtam, hogy ez egy durva becslés.

"Miért forgatná gyorsabban? Lehet, hogy lassabban fogja. "

Lehet, de én ezt a jelenség jobb megértéséhez írtam. Leírhattam volna úgy is, hogy tekintsük a szögsebességnek valamely d(omega) infinitezmálisan kicsiny megváltozását, és az eközben eltelt dt idő alatt az erőnek a dF megváltozását... Csak ezt úgysem érteni senki, annak meg mi értelme?!

"Meg vannak kétségeim, hogy érted a gyorsuló vonatkoztatási rendszereket, de még ha érted is, kár vele összekavarni másokat."

És miffélék a kétségeid?

Miért probléma az, ha szerintem egyszerűbb a mozgás

vizsgálata a vele együttforgó koordinátarendszerben?

"Az alfád pont akkor lesz elhanyagolható, ha a kötélerő a legkisebb felső korlátját közelíti, tehát ezt fordítva gondoltad. "

El kéne olvasni rendesen a válaszomat. Akkor látnád, hogy az én alfám a vízszintes talajhoz van mérve, nem a függőleges forgástengelyhez, mint nálad.

Tehát a te alfád = 90 fok - az én alfám...

"Elnevezéseken nem fogok összeveszni, akkor legyen normális irányban. Amúgy annyi történt, hogy a 'centripetális gyorsulás irányát' 'centripetális iránynak' rövidítettem. "

Tudom, hogy mi történt, a képletekből látok mindent.

Csak azt akartam mondani, hogy nem kéne eltérni a szakirodalmi

megnevezésektől, mert az nem helyénvaló.

Centripetális irány nem létezik.

"De ha már ilyen nagy a szád, akkor nem bánom, ha kiszámolod, hogy a függőleges síkban forgatás esetén mennyi lesz a maximum és minimum sebesség. Kíváncsian várom."

Akkor íme:

Tételezzük fel, hogy a kérdező által megadott adatok

a mozgás átlagértékeire vonatkozik. Ebből rögtön adódik

az átlagos szögsebesség: w=pi rad/s=3,141 rad/s.

A mozgás átlagos kinetikus energiája ezért

Ekin=0.5*m*(R^2)*w^2=19,74 J.

Az alsó holtpontban a potenciális energia minimuma miatt

a kinetikus energiának maximuma van, így ez

E_kin_lent=19,74 J + m*g*R = 39,36 J.

nagyságú. Hasonlóan a felső holtpontban a kinetikus

energia:

E_kin_fenn=19,74 J - m*g*R = 0,120 J.

Ezekből visszaszámítva a sebességeket:

Maximáls: lennt: v_lenn=8,872 m/s.

Minimális: fennt: v_fenn=0,4899 m/s.

Tehát látjuk, hogy gyakorlatilag bőlcsödés eszközökkel

is megoldhatók az ilyen egyszerű példák.

Mellesleg ha már energiákból indultunk ki,

megoldhatnád a példát a másodfajú Lagrange-egyenlet

segítségével, vagy akár a variációszámítás eszközeivel is.

Érdekelne, vajon vállalkozol -e rá?

Nem nagy szám amúgy kell egy kicsit deriválgatni,

aztán rögtön kijön a mozgás differenciálegyenlete.

Nem bonyolultabb, mint a másodfokú egyenlet

megoldóképlete.

(Bár itt egy hiányos másodrendű diffegyenlet fog kijönni,

amit ránézésre lehet látni is).

Kíváncsian várom tehát!

> „Ember, hasonlítsd össze azt az eredményt, amit kiszámoltál egy oldalban az én becslésemmel kicsivel több mint 10% az eltérés. Nem értem miről beszélsz, annak ellenére, hogy az akkori válaszomban is leírtam, hogy ez egy durva becslés.”

Az nem egy durva becslés volt, hanem a hasadra ütöttél, és véletlenül aránylag jó értéket kaptál. Ha az α-ra, amit te meg sem próbáltál becsülni, nem írtál semmit a nagyságrendjéről, 0,1° jött volna ki, akkor az erő, amit írtál már csak 0,017 N. Ez már bőven több, mint 10% hiba. Mondjuk úgy 100% körül van, és 3 nagyságrenddel odébb. Vagy ha 89,9° jött volna ki, akkor az erő, amit emlegetsz 5620 N-nak adódik.

Onnét kezdve hogy ami számértéket adtál az erőre csak hasraütés, és ugyanúgy lehetne akár nagyságrendekkel kisebb, akár nagyobb, a

> „Vagyis mivel összemérhető a két erő, alfa is nem elhanyagolható lesz.”

állításod is értelmetlen, akár az én α-mat használjuk, akár te alfádat (amiket szerintem nem kevertem össze).

Mondjuk az igaz, hogy akkor lesznek egyformák az erők, ha alfa = α = 45°, szóval annál nagyobbat hibázol, minél messzebb vagyunk ettől. (Tehát én is írtam butaságokat, ha megnézed, az egyik képletemben van egy felesleges koszinusz is, ha jól emlékszem. De lehet, hogy szinusz.)

> „Lehet, de én ezt a jelenség jobb megértéséhez írtam. Leírhattam volna úgy is, hogy tekintsük a szögsebességnek valamely d(omega) infinitezmálisan kicsiny megváltozását, és az eközben eltelt dt idő alatt az erőnek a dF megváltozását... Csak ezt úgysem érteni senki, annak meg mi értelme?!”

Oké, lehet, hogy szemléletes a szélsősőséges vizsgálata, de ha így írtad volna, azzal pont hogy nem átfogalmazod az arról tett kijelentést, hanem másról teszel állítást: arról, hogy hogyan működne, ha csak kicsit változtatnánk rajta, ez pont az ellentettje a szélsőséges változtatásnak.

> „Centripetális irány nem létezik.”

> „A kísérő triéder felvételénél háromféle irány létezik, normális, tangenciális és binormális.”

A függőlegessel hogyhogy nem volt baj? Meg miért gondolod, hogy én kísérőtriédert akartam felvenni? Nekem a kör középpontjába mutató irány kellett: center ~ középpont, petere ~ mutatni/követni.

> „Csak ezt úgysem érteni senki, annak meg mi értelme?!”

Most meg hirtelen az a baj, hogy úgy írtam, hogy mindenki értse?

> „ahol alfa a kötél és a talaj által bezárt szög.”

Az nem szúrta a szemedet, hogy olyan dologhoz viszonyítasz, amineka dőlése semennyire nem kell, hogy állandó legyen?

> „Miért probléma az, ha szerintem egyszerűbb a mozgás vizsgálata a vele együttforgó koordinátarendszerben?”

Oké, szerinted egyszerűbb, de attól még másoknak nem feltétlenül, illetve csak összekavarja őket. Ennyi erővel csinálhattad volna Hamilton-formalizmussal is.

> „És miffélék a kétségeid?”

Erre lehet, hogy még lesz alkalmam konkrétan rámutatni, amilyen elvakultan írod a zöldségeket. :) Szerencsédre a függőleges tengely körüli forgás túl egyszerű, hogy látszódjon a különbség.

> „Tételezzük fel, hogy a kérdező által megadott adatok a mozgás átlagértékeire vonatkozik.”

Azt minek feltételezni? Világosan kiderül a leírásból, hogy 1 egész kört tesz meg 2 másodperc alatt. Ebből a sebesség/szögsebességnagyságának az átlaga addódik közvetlenül, semmilyen extra feltevés nem kell.

> „A mozgás átlagos kinetikus energiája ezért

Ekin=0.5*m*(R^2)*w^2=19,74 J.”

Szóval az átlag négyzete az a négyzet átlaga? Ez valahogy kapásból nem okés. Ez olyan, mintha azt mondanánk, hogy a konnektorban a feszültség 1 s (50 periódus idő) elteltével pont ugyanannyi, mint kezdetben volt, tehát az átlagos változása 0. Ezért ha egy R ellenállásra kapcsoljuk a hálózati feszültséget átlagosan P = U^2/R = 0 teljesítmény esik rajta. Te most ugyanígy felhasználtad w átlagát, négyzetre emelted, és kaptál egy értéket, amit a energia átlagának vettél, és nem jó.

A következő, ami nem stimmel, hogy nem rögzíted, hol van a helyzeti energia 0 szintje, csak a képleteidből derül ki, hogy a pálya középpontjának magasságában. Ráadásul „ha hallottál volna a paraméteres számolásokról”, akor nem kevernéd egy összegbe a 19,74 J-t, és az m*g*R-et.

A következő feltételezésed, amit semennyire nem indokolsz meg, az az, hogy a mozgási energia akkor veszi fel az átlagos értékét, amikor a test a középponttal egy magasságban van. Egyáltalán nem biztos, hogy ott fogja, mert ugye a pálya felső részén (a középpont felett) lassabban megy, több időt tölt el ott, így az időre vett átlagba mozgás ezen szakasza nagyobb súllyal számít bele, viszont lent gyorsabban halat.

> „Ezekből visszaszámítva a sebességeket:

Maximáls: lennt: v_lenn=8,872 m/s.

Minimális: fennt: v_fenn=0,4899 m/s.”

A körpályán mozgás dinamikai feltétele a pálya felső pontján, a lefele irányt pozitívnak tekintve (ami most egyezik a centripetális iránnyal, avagy a normális iránnyal, ha úgy tetszik):

G + K = m*acp,

K = m*(v^2/R – g) = (1 kg)*((0,4899 m/s)^2/(2 m) – (9,81 m/s^2)) ≈ –9,69 N,

azaz a kötélerő a pálya felső pontján nem lefelé, hanem G-vel ellentétes irányban, felfelé mutat az eredményed alapján.

Ez hogy lehet? A merev madzagot is feltételezted?

Ha figyeltél volna azokon az órákon, ahol a Lagrange-egyenletekről van szó (már ha tényleg volt ilyen órád), akkor tanultál volna arról is, hogy a matematikai inga hogyan viselkedik nagy kitérések esetén, és ha képes lennél a logikus gondolkozásra, akkor felismerted volna, hogy a probléma, amit feladtam, egy matematikai ingát ír le, aminek a kitérése nagyobb, mint 90°, és valóban nem lehet középiskolai módszerekkel tárgyalni.

"véletlenül aránylag jó értéket kaptál."

Nem véletlen, hanem elsőre átláttam a problémát...

"jött volna ki"

"lehetne akár nagyságrendekkel kisebb"

Hát igen, ez mind-mind csak feltételes mód.

"Tehát én is írtam butaságokat"

Örülök hogy végre rádöbbentél.

"Oké, lehet, hogy szemléletes a szélsősőséges vizsgálata, de ha így írtad volna, azzal pont hogy nem átfogalmazod az arról tett kijelentést, hanem másról teszel állítást: arról, hogy hogyan működne, ha csak kicsit változtatnánk rajta, ez pont az ellentettje a szélsőséges változtatásnak."

És akkor szerinted ha csinálsz egy modellt, amelynek a diffegyenleteit

differenciálisan kicsiny megváltozásokkal vezeted le, akkor az egyenlet

megoldása nem fogja megadni a nagyobb kitérésekre vonatkozó megoldást?

Az, hogy a megoldás milyen tartományban lesz érvényes, nem attól függ,

hogy az egyenletfelállításkor infinitezimálisan kicsiny mennyiségekkel

dolgozunk, hanem az, hogy az elhanyagolások mellett hol linearizálunk.

"Az nem szúrta a szemedet, hogy olyan dologhoz viszonyítasz, amineka dőlése semennyire nem kell, hogy állandó legyen? "

És szerinted mi akadálya van annak, hogy felveszek egy, a forgástengelyre

merőleges síkot, és ahhoz viszonyítok?

"Szóval az átlag négyzete az a négyzet átlaga?"

Nem mondtam ilyet konkrétan sehol. Az viszont tény,

hogy a négyzetek átlagát alúlról lehet becsülni az

átlag négyzetével.

"A következő feltételezésed, amit semennyire nem indokolsz meg, az az, hogy a mozgási energia akkor veszi fel az átlagos értékét, amikor a test a középponttal egy magasságban van."

Le lehet vezetni.

"a kötélerő a pálya felső pontján nem lefelé, hanem G-vel ellentétes irányban, felfelé mutat az eredményed alapján.

Ez hogy lehet? A merev madzagot is feltételezted?"

Igen, ez esetben látjuk, hogy a mozgás csak akkor tartható fenn, ha madzag

helyett egy ideálisan súlytalan rudat használunk.

Jó példa ez arra, hogy a szögsebességnek alsó korlátja van madzag esetén,

ami teljesen egybevág a reális fizikai képpel.

"Ha figyeltél volna azokon az órákon, ahol a Lagrange-egyenletekről van szó (már ha tényleg volt ilyen órád), akkor tanultál volna arról is, hogy a matematikai inga hogyan viselkedik nagy kitérések esetén, és ha képes lennél a logikus gondolkozásra, akkor felismerted volna, hogy a probléma, amit feladtam, egy matematikai ingát ír le, aminek a kitérése nagyobb, mint 90°, és valóban nem lehet középiskolai módszerekkel tárgyalni"

Ha direktbe akarod előállítani a leíró nemlineáris differenciálegyenlet

megoldását, akkor persze hogy nem lehet kezelni középiskolai módszerekkel.

Sőt ki kell ábrándítsalak, analitikus zárt megoldása sem létezik.

A folytonos dinamikai rendszerekre vonatkozó kvalitatív vizsgálati módszerek

segítségével lehet pl. felrajzolni a trajektóriákat, ill. vizsgálni a stabilitást.

Az ingára ezenkívül amit még analitikusan lehet csinálni, az még az,

hogy variációszámítás segítségével becslést lehet adni a periódusidőre,

ha az nagyobb amplitúdójú lengéseket végez, és kb. ebben kimerül

az analitikus számítások lehetősége.

Konkrét számításokhoz meg legfeljebb numerikus szimulációt lehet futtatni,

ha leprogramozol pl. egy Runge-Kutta módszert, vagy valamilyen Adams formulát, stb.

Bár ezek benne szoktak lenni a numerikus matematikai programcsomagokba.

Ami kérdés lehet, milyen az alkalmazott numerikus módszer ún. abszolút stabilitása.

Mert szimulációnál fontos az is, hogy a diszkretizált rendszerrel való közelítéskor

az eredeti folytonos rendszerhez képest tapasztalunk -e mondjuk csillapítást,

vagy esetleg instabilitást viszünk a rendszerbe.

Na ezeket a dolgokat megint csak az energiamegmaradás ellenőrzésével lehet

lekövetni.

Ha energiákból indulunk ki, akkor az ilyen példákat is becslő jelleggel lehet

kezelni középiskolás módszerekkel, ahogy ebben a példában rá is mutattam erre.

Viszont várom továbbra is, mit sikerül kihoznod a Lagrange-egyenletekből.

Bár van egy olyan érzésem, hogy ez nem megy majd...

De hát a lehetőség adott, lehet bizonyítani az ellenkezőjét.

#15: Most megint nagyon kíváncsi leszek, hogy mit mondasz arra, hogy az általam kiszámolt közelítő eredmény is kb. 10%-ot tér el a tiedétől.

Biztos ez is véletlen, meg hasracsapásszerű...

> „Nem véletlen, hanem elsőre átláttam a problémát...”

Ha te mindent átlátsz elsőre, akkor miért nem egy jósdában dolgozol?

> „"Szóval az átlag négyzete az a négyzet átlaga?" Nem mondtam ilyet konkrétan sehol. Az viszont tény, hogy a négyzetek átlagát alúlról lehet becsülni az átlag négyzetével.”

Amikor az átlagos energiát számoltad, akkor nem egyenlőtlenségjeleket írtál, hanem egyenlőséget az átlag négyzete és az átlagos energia közé.

> „"A következő feltételezésed, amit semennyire nem indokolsz meg, az az, hogy a mozgási energia akkor veszi fel az átlagos értékét, amikor a test a középponttal egy magasságban van."

Le lehet vezetni.”

Hú, de blöff, akkor megcsináltad volna. (Ne feledd, bölcsődés módszerekkel kell!)

> „"a kötélerő a pálya felső pontján nem lefelé, hanem G-vel ellentétes irányban, felfelé mutat az eredményed alapján. Ez hogy lehet? A merev madzagot is feltételezted?"

Igen, ez esetben látjuk, hogy a mozgás csak akkor tartható fenn, ha madzag helyett egy ideálisan súlytalan rudat használunk. Jó példa ez arra, hogy a szögsebességnek alsó korlátja van madzag esetén, ami teljesen egybevág a reális fizikai képpel.”

Nézd már, mintha ez én egy kicsit hamarabb leírtam volna. Hogy is fogalmaztál egy másik kérdésnél?

> „Mellesleg a kérdező is rámutatott arra, hogy nem válaszolt #2 a kérdésre érdemben. Sajnos nem ez az egyetlen kiírt kérdés, ahol a #2 nevű válaszoló más válaszolók hozzászólásait, vagy a kérdező saját gondolatát lemásolva, saját ötletként állítja be azt.

NEVETSÉGES és VISSZATASZÍTÓ az a fajta megnyílvánulás, amit ez csinál.”

> „Sőt ki kell ábrándítsalak, analitikus zárt megoldása sem létezik.”

Dettó leírtam, hogy középiskolás módszerekkel analitikusan nem kezelhető.

> „Konkrét számításokhoz meg legfeljebb numerikus szimulációt lehet futtatni, ha leprogramozol pl. egy Runge-Kutta módszert, vagy valamilyen Adams formulát, stb. ”

Vagy csak látom, hogy itt egy általánosított koordináta van, így ez lényegében egy egydimenziós mozgás ismert potenciálban, amiben a két pont közötti út megtételéhez szükséges idő egy (elliptikus) integrál. Egy ismeretlen paraméter van benne, a sebesség, azt kell úgy belőni, hogy a T = 2 s-re jöjjön ki.

> „Viszont várom továbbra is, mit sikerül kihoznod a Lagrange-egyenletekből.”

Add meg az általánosított koordinátákat, és csinálom. (Az a baj, hogy eddig egy épkézláb egyenletet nem tudtál felírni, kétlem, hogy sikerülne definiálnod valamit.)

> „Most megint nagyon kíváncsi leszek, hogy mit mondasz arra, hogy az általam kiszámolt közelítő eredmény is kb. 10%-ot tér el a tiedétől.”

Hát, ez a nagyságrendi egyezés már kevésbé véletlen, ugye mert most azt volt a bűnöd, hogy az átlagokat keverted összevissza, azok meg ritkán térnek el egymástól nagyságrendekkel. De ahhoz képest, hogy már visszakozol, hogy csak egy becslés, amit csináltál, nagyon akkurátusan számolgattad a 4. tizedes jegyet minden képletben.

Amit én számoltam ott, tudom, hogy a számolási hiba kisebb, mint 0,005 m/s. Neked mekkora a hibád?

> „"Az nem szúrta a szemedet, hogy olyan dologhoz viszonyítasz, aminek a dőlése semennyire nem kell, hogy állandó legyen?"

És szerinted mi akadálya van annak, hogy felveszek egy, a forgástengelyre merőleges síkot, és ahhoz viszonyítok?”

Tudsz olvasni? Te nem egy ilyen síkhoz, hanem a TALAJHOZ viszonyítottál. Nekem azzal volt bajom.

> „ahol alfa a kötél és a talaj által bezárt szög.” (ápr. 26. 20:56, csak azért, hogy megtaláld. A hozzászólások időrendben vannak.)

"Ha te mindent átlátsz elsőre, akkor miért nem egy jósdában dolgozol?"

Nem találom azt, hogy hol írtam volna le, hogy

mindent átlátok. Csak a jelen példára tettem megállapítást,

nem pedig általánosságban. Bár ennek észrevételezéséhez

szükséges némi szövegértés, amellyel mint közismert, nem mindenki

rendelkezik.

"Amikor az átlagos energiát számoltad, akkor nem egyenlőtlenségjeleket írtál, hanem egyenlőséget az átlag négyzete és az átlagos energia közé."

Ebben részben igazat adok. Helyesen közelítő egyenlőségjelet kell tenni, mert

így szokás egyébként is.

Ha tudsz mondani egy billentyűkombinációt, annak örülnék, mert kimásolgatni

nincs kedvem...

"Nézd már, mintha ez én egy kicsit hamarabb leírtam volna."

Igen, de arról nem tehetek, ha a válaszom írása közben születik

további vélemény, és utóbbival csak a válaszom elküldése után

szembesülök.

"Dettó leírtam, hogy középiskolás módszerekkel analitikusan nem kezelhető."

Ez nem ekvivalens azzal, hogy nem létezik zárt analitikus megoldás.

Mert ha nem létezik, amit ugye kiábrándításként leírtam, akkor

egyetemi módszerekkel sem lehet előállítani zárt alakú megoldást.

"Vagy csak látom, hogy itt egy általánosított koordináta van, így ez lényegében egy egydimenziós mozgás ismert potenciálban, amiben a két pont közötti út megtételéhez szükséges idő egy (elliptikus) integrál. Egy ismeretlen paraméter van benne, a sebesség, azt kell úgy belőni, hogy a T = 2 s-re jöjjön ki."

És szerinted ez miért jelentené akadályát egy numerikus módszer leprogramozásának?

A differenciálegyenlet rendje persze ha nagyobb mint 1, akkor a Cauchy-féle

átírást kell használni, ezt óvodából tudjuk.

"Add meg az általánosított koordinátákat, és csinálom. (Az a baj, hogy eddig egy épkézláb egyenletet nem tudtál felírni, kétlem, hogy sikerülne definiálnod valamit.)"

Legyen az általánosított koordináta a függőleges és a madzag által bezárt szög.

Az általánosított koordinátát mérjük a függőlegestől, és jelöljük q-val!

(A fűggőleges irány amúgy is a kedvenced, én nem foglak megfosztani

ettől az élménytől).

Várom szóval mit hozol ki...

"Hát, ez a nagyságrendi egyezés már kevésbé véletlen, ugye mert most azt volt a bűnöd, hogy az átlagokat keverted összevissza, azok meg ritkán térnek el egymástól nagyságrendekkel."

Hát ez nagyon tetszett. Bár amit össze-vissza keverésnek nevezel,

szerintem inkább épp az, hogy valaki tudja, mit mivel és hogyan

lehet becsülni, és közelíteni.

"Amit én számoltam ott, tudom, hogy a számolási hiba kisebb, mint 0,005 m/s."

És ezt miből tudod? Mekkora volt diszkretizáláskor a lépésköz?

Hányadrendű numerikus módszerrel dolgoztál, és az eredményt hányadrendűvel

ellenőrizted, hogy az eltérés adott hibahatáron belűl van -e?

"Tudsz olvasni? Te nem egy ilyen síkhoz, hanem a TALAJHOZ viszonyítottál."

Ugyanaz a kettő. Ha veszünk egy ilyen síkot, akkor az egyébként is

felfogható képzeletbeli talajnak is. Ezen kár vitatkozni, apróság...

> „Nem találom azt, hogy hol írtam volna le, hogy mindent átlátok. Csak a jelen példára tettem megállapítást, nem pedig általánosságban. Bár ennek észrevételezéséhez szükséges némi szövegértés, amellyel mint közismert, nem mindenki rendelkezik.”

Utólag mindig azt írod, hogy ami fontos dolgot szóvá tettem, hogy nem írtál le, azt te előre láttad, hogy annyi lesz, és ezért feleslegesnek érezted leírni.

> „Ebben részben igazat adok. Helyesen közelítő egyenlőségjelet kell tenni, mert így szokás egyébként is.”

Persze, azért úgy kell, mert úgy szokás, meg különben is, te írtad, hogy

> „Az viszont tény, hogy a négyzetek átlagát alúlról lehet becsülni az átlag négyzetével.”

Tehát ebbe az egyenletedbe nem közelítő egyenlőség, vagy egyenlőség jel kell, hanem egy szép nagy kacsacsőr:

> „Ekin=0.5*m*(R^2)*w^2”

mert itt w^2 az w átlagának négyzete, pedig neked az átlagos kinetikus energiánál a négyzet átlaga kéne.

> „Hát ez nagyon tetszett. Bár amit össze-vissza keverésnek nevezel, szerintem inkább épp az, hogy valaki tudja, mit mivel és hogyan lehet becsülni, és közelíteni.”

Szerinted.

> „Igen, de arról nem tehetek, ha a válaszom írása közben születik további vélemény, és utóbbival csak a válaszom elküldése után szembesülök.”

Abban a hozzászólásban írtam le, amiből idéztél, te. Azért jó vicc volt, majdnem bevettem.

> „Ez nem ekvivalens azzal, hogy nem létezik zárt analitikus megoldás. Mert ha nem létezik, amit ugye kiábrándításként leírtam, akkor egyetemi módszerekkel sem lehet előállítani zárt alakú megoldást.”

Nem ekvivalens, de szögegyenesen következik belőle. Te pedig azt írtad erre, hogy hülyeség, mert bölcsődés módszerekkel is megy. Persze, ha a végletekig lebutítod a modellt, és még annak a keretein belül se törekszel arra, hogy 50%-os hibán belül számolj.

> „"Vagy csak látom, hogy itt egy általánosított koordináta van, így ez lényegében egy egydimenziós mozgás ismert potenciálban, amiben a két pont közötti út megtételéhez szükséges idő egy (elliptikus) integrál. Egy ismeretlen paraméter van benne, a sebesség, azt kell úgy belőni, hogy a T = 2 s-re jöjjön ki."

És szerinted ez miért jelentené akadályát egy numerikus módszer leprogramozásának? A differenciálegyenlet rendje persze ha nagyobb mint 1, akkor a Cauchy-féle átírást kell használni, ezt óvodából tudjuk.”

Ez kivételesen nem azt akarta mutatni, hogy rossz amit írsz, csak hogy lehet egyszerűbben is számolni, nem kell mindjárt a differenciálegyenleteknek esni neki.

> „"Tudsz olvasni? Te nem egy ilyen síkhoz, hanem a TALAJHOZ viszonyítottál."

Ugyanaz a kettő. Ha veszünk egy ilyen síkot, akkor az egyébként is felfogható képzeletbeli talajnak is. Ezen kár vitatkozni, apróság...”

Akkor te mi a fenének kötözködsz a normális és tangenciális komponensekkel?

> „Legyen az általánosított koordináta a függőleges és a madzag által bezárt szög. Az általánosított koordinátát mérjük a függőlegestől, és jelöljük q-val! (A fűggőleges irány amúgy is a kedvenced, én nem foglak megfosztani ettől az élménytől).”

Hehe, trükkös. Ugye egy tömegpontunk van a térben, annak 3 koordinátája van, de csak 1 kényszerünk. Így a szabadsági fokok száma 3 – 1 = 2, viszont te csak 1 általánosított koordinátát adtál meg. Talán arra gondolsz (vagy most örülsz, hogy leírom, mire kéne gondolj), hogy együtt mozgó koordináta rendszerben kell a mozgást vizsgálni, de azt rád bízom, mert bevallom, nekem bonyolult lenne. De akkor legalább azt csináld meg rendesen, ha már sebességeket számolnod nem sikerült.

A szokásos módon vegyünk fel Descartes-i koordináta rendszert a madzag felfüggesztési pontjában úgy, hogy a z tengely függőleges legyen. A másik általánosított koordináta akkor legyen p, és jelölje, hogy milyen szöget zár be a madzag víszintes, xy síkon vett vetülete milyen szöget zár be az x tengellyel. (A q pedig a z tengellyel bezárt szög. Az egyszerűség kedvéért a z tengely továbbra is mutasson lefelé.)

Ezekkel a kinetikus energia

K = 1/2*m*l^2*q˙^2 + 1/2*m*l^2*sin(q)^2*p˙^2,

A helyzeti eneriga 0 szintjét z = 0-nak választva (ami választást te nem tartasz fontosnak jelezni):

U = –m*g*l*cos(q).

A p-ből származó Euler–Lagrange-egyenlet:

m*l^2*sin(q)^2*p˙˙ = 0,

A q-ból származó Euler–Lagrange-egyenlet:

m*l^2*q˙˙ = 1/2*m*l^2*sin(2*q)*p˙^2 – m*g*l*cos(q).

Majdnem jók az egyenleteid, van néhány deriválási hiba.

Helyesen:

p-re: m*{[l*sin(q)]^2}*p"+2*m*p'*l*cos(q)*q'=0.

q-ra: m*l^2*q"-m*l^2*cos(q)*p'^2+m*g*l*sin(q)=0.

(Az egyiknél elfelejthetted a potenciálfüggvényt deriválni, a másiknál meg a szorzatot, mindegy).

Én amúgy azért írtam csak egy általánosított koordinátát, mert a feladatot síkbeliként lehet kezelni. Azaz amit te p-vel jelöltél az ekkor kiesik. De így is jó.

Ha csak síkban dolgozunk akkor egyetlen hiányos másodrendű egyenletet kapunk, ami a következő:

q"+(g/l)*sin(q)=0.

Ez valóban mint látjuk, a matematikai inga egyenlete. (g/l előjele lehetne negatív is, ha fordítva vesszük fel a koordinátarendszert).

Egyéb: Az energiák számításához mindegy hova veszed fel a koordinátarendszert. A rendszer összes mechanikai energiája invariáns a koordináta transzformációval szemben.