Két egyenlő tömegű test a világűrben egymástól adott távolságra nyugalomban van. Ha ezután gravitációs kölcsönhatás következtében összeütköznek, hogyan lehet kiszámolni az ütközésig eltelt időt?

Kepler 3. törvénye nem csak arányosságot ír le, hanem megadja az arányossági tényezőt is. Amit te ki akarsz számolni, az egy kéttest probléma, ami kicsit bonyolultabb, ezért első lépésként jobb lenne egy egytest problémát alapul venni. Tehát a zuhanós test tömeg legyen elhanyagolható a vonzó testéhez képest. Ekkor a vonzó test nem fog elmozdulni, ami egyszerűsíti a dolgot.Így kb olyan a kérdés, hogy mennyi idő alatt zuhan bele egy test a Napba adott távolságból (ha kezdetben nyugalomban volt).

Ilyenkor a Kepler-törvény így néz ki ellipszis pályákra:

T^2/a^3 = 4*pi^2/MG

ahol T a keringési idő, "a" az ellipszis nagytengelyének fele, M a vonzó test tömege, G a gravitációs állandó.

Ebből T elég egyszerűen kifejezhető.

A trükk az, hogy az egyenesen zuhanó testet úgy tekintjük, mintha az egy nagyon elnyújtott, végtelenül vékony ellipszis mentén keringene a másik körül. Ilyenkor a vonzó test (mondjuk a Nap) ennek az elfajult ellipszisnek a legvégén van (ide esik ennek az ellipszisnek a fókusza). Tehát a nagytengely megegyezik a test kezdeti távolságával. Ennek tehát a felét kell majd beírni a fenti képletbe.

Az időre kapott eredményt pedig osztani kell majd kettővel, hiszen nem egy teljes (oda-vissza) keringés idejére vagyunk kíváncsiak, csak az oda út idejére, azaz a teljes keringési idő felére.

Ezzel a trükkel ki lehet kerülni azt az elég csúnya integrálást, amit amúgy nem is nagyon lehet analitikusan megoldani.

Ha vissza akarunk térni az eredeti feladathoz, vagyis két egyforma tömegű testhez, akkor a fenti képletbe a Nap vagy a másik test) tömege helyett annak negyedét kell beírni. Ennek az az oka, hogy ha így teszünk, akkor az egyik test nézőpontjából úgy tekinthetjük, hogy azt nem a másik test vonzza, hanem a két test közös tömegközéppontjába helyezett fiktív test, ami megint csak mozdulatlan, tehát alkalmazható a Kepler-törvény. Mivel azonban ez a fiktív test kétszer közelebb van az egyik testhez, mint a tényleges másik test, ezért annak tömeget negyedelni kell, hogy az erő mindvégig ugyanaz legyen, mintha a valós másik test fejtené azt ki.

3:

Nem a helytől függ, hanem a távolságtól. Nem mindegy, épp ezért egyáltalán nem bonyolult a feladat még egy gimisnek sem.

De milyen keringérsől, meg Kepler törvényekről beszélnek itt egyesek? Más feladatot olvasnak néhányan?

A probléma úgy szól, hogy légüres, anyagmentes térben van 2 test, amelyek az egymásra ható gyenge (tehát használható a Newton-közelítés) gravitációs kölcsönhatásuk következtében egymás felé mozognak.

Nincsen semmiféle keringés, nincsen impulzusmomentum.

A kérdésre a válasz a 2. kommentemben leírt számolás.

Kedves 2-6-7-es:

Pont azt nem veszed figyelembe, amit magad is leírsz, hogy a hely a távolság függvénye. Tehát amikor kiszámolod a Newton-törvényből az erőt, a két test tömegével és kezdeti távolságával, akkor az csak az első pillanatban lesz annyi. A következő pillanatban a két test már közelebb van egymáshoz, tehát az erő megváltozik, folyamatosan növekszik. Így az F=ma képletbe nem lehet simán egyetlen erőértéket beírni, és azzal számolni végig.

Ilyenkor a mozgásegyenletet egy differenciálegyenlet formájában kell felírni, ami így néz ki:

mx" = -m*m*G/x^2

ahol x a két test távolsága, a ' pedig az idő szerinti deriválást jelzi.

Ennek a differenciálegyenletnek a megoldása, ha talán nem is lehetetlen, de semmiképp sem középiskolás ismeretanyag. És még magasabb szinten sem olyan egyszerű.

Az ellipszises megoldás elve az, hogy a Kepler-törvény minden keringő testre érvényes. Így megtehetjük azt, hogy az egyenes pályáig úgy jutunk el, hogy egy ellipszist elkezdünk vékonyítani, egészen addig, amíg az ellipszis egy egyenes szakasszá nem fajul. Ez azért jó nekünk, mert így végig érvényes marad a Kepler-törvény, és nem kell megoldanunk a fenti, sokkal nehezebb differenciálegyenletet.

A differenciálegyenletet megoldva persze sokkal többet is megtudhatnánk, megtudhatnánk azt például, hogy a test minden pillanatban hol tartózkodik, vagy hogy mennyi idő telik el, amíg egy tetszőleges A pontból egy tetszőleges B pontba ér. De szerencsére most erre nincs szükségünk, mert egy speciális időtartamra van szükségünk, még pedig arra, amíg a test az ellipszis felét teszi meg. Erre a speciális esetre pedig jól használható a Kepler-törvény

Elnézést, ezt elírtam:

"hogy a hely a távolság függvénye" helyett: "hogy az erő a távolság függvénye"

És a diffegyenlet sem pontos, hiányzik egy 2-es szorzó, mert a távolság nem csak amiatt változik, hogy az egyik test gyorsul, hanem hogy a másik is közeledik, tehát:

mx" = -2*m*m*G/x^2