Valaki nem tudná esetleg ennek a matekfeladatnak a megoldását alaposan levezetve?

Minden tiszta. Felveszünk egy koordináta-rendszert, úgy, hogy az O origó az AD felezőpontja legyen. Továbbá az x-tengely pozitív iránya az A-ba mutasson. Ekkor a Thalesz-kör egyenlete x²+y²=1 és levezethető az is, hogy a beírható körök középpontjainak mértani helye x²+(y+1)²=2 egyenletű körének egy ívén lesznek. Tehát ennek a körnek a középpontja a konvex négyszögön kívül (0,-1) pontban lesz, azaz 1 egységre az O ponttól. Sugara pedig √2. A körív D-nél kezdődik és A-nál végződik és átmegy (0,√2-1)

ponton is, valamint a hozzátartozó húr hossza AD=2. Ezen az íven kijelölhetünk két olyan pontot, amelynek távolsága kisebb lesz mint 2. Így elképzelhető a √2 távolság is. A feladatot arra a konkrét esetre oldjuk meg, amikor ABCD szimmetrikus trapéz és AD||BC. BC kiszámítása megoldható és a következő részekben fogom levezetni a két kör egyenletét és BC hosszát is. Sz. Gy.

Triviális esetben - tehát ha egy Thalesz-körbe írt húrtrapézről van szó - a megoldás elég egyszerű.

Legyen

a - a trapéz hosszabbik alapja (az AD távolság)

t - a beírt körök középpontjának távolsága

c - a trapéz rövidebb alapja (a keresett BC távolság)

Részletezés nélkül a megoldás

c = (t/a)*√(2a² - t²)

=============

A feladat adataival

a = 2

t = √2

a keresett oldal

c = √3

=====

Tisztelt Sz. Gy.!

A megjegyzés jogos, de kis türelmet kérek az íráshoz és a rajzhoz, mert azt is szeretnék mellékelni.

Cserébe kérhetem az Ön által vázolt megoldás levezetését?

DeeDee

******

A Thalesz-kör egyenlete triviális, mert a kör sugara 1. Tehát vegyük a derékszögű ABD∆-et. Legyen a D-vel szemközti befogó 'a és az A-val szemközti befogó 'b. Az átfogó AD=2. Legyen s a félkerület. Vegyük a beírható kör DA-ra illeszkedő E érintési pontját. Ekkor DE=s-a, OE=s-a-1=(a+b+2)/2-a-1=(b-a)/2.

Legyen az ABD∆ területe t, és a beírható kör sugara ρ. Ekkor ρ=t/s miatt ρ=EQ=(ab)/(a+b+2)=(a+b-2)/2, azaz a kör a beírható kör Q középpontjának koordinátáira x=(b-a)/2 illetve y=(a+b-2)/2 jön ki. Ha ezeket behelyettesíted az x²+(y+1)² kifejezésbe, akkor éppen 2-öt kapunk eredményül. Tehát x²+(y+1)²=2 lesz az eredmény, ami egy kör egyenlete. Hasonló a helyzet az ACD∆ esetén, de ott x=(a-b)/2. Szintén ugyanehhez a körhöz jutunk.

Mivel a két központ távolsága √2, ezért x=√2/2 és ezt

behelyettesítve a kör egyenletébe adódik 1/2+(y+1)²=2

egyismeretlenes egyenlet y-ra. Így y=√3/√2-1. Ezután megoldjuk a (b-a)/2=√2/2, (a+b-2)/2=√3/√2-1 lineáris kétismeretlenes egyenletrendszert. Adódik, hogy a két befogó a=(√6-√2)/2 illetve

b=(√6+√2)/2. Ezután már csak az 'a befogó értékét használjuk a B csúcspont koordinátáinak kiszámítására. Ez azt jelenti, hogy két kör metszéspontjait kell megkeresni, a másodfokú kétismeretlenes egyenletrendszerünk ebben az esetben (x-1)²+y²=(√6-√2)²/4 illetve x²+y²=1. B csúcspont koordinátáira x=√3/2 ill. y=1/2 adódik.

Eredményünk tehát a BC=√3. Az ennél általánosabb esetet, már leírták a velem párhuzamosan dolgozó kollégák. Köszönet érte. Sz. Gy.

Akkor lássuk!

Több úton is el lehet jutni a megoldáshoz, én a következő kettőt választottam

1. Pihagorász tétel segítségével

2. A Ptolemaiosz tétel felhasználásával

Először két segédösszefüggés

-------------------------------------

a.) A kör középpontjának távolsága a trapéz szimmetria tengelyétől

a/2 = t/2 + b - r

A beírt kör sugara a derékszögű háromszögben

r = (b + e - a)/2 = b/2 + e/2 - a/2

Behelyettesítve

a/2 = t/2 + b - b/2 - e/2 + a/2

Összevonás, rendezés és egyszerűsítés után adódik, hogy

(A) t = e - b

**********

b.) A befogók szorzata (később lesz szükség rá)

­Az (A) összefüggés

t = e - b

négyzetre emelve

t² = (e - b)²

hozzávéve a derékszögű háromszögben a Pihagorasz tételt

a² = e² + b²

Az első négyzetet kibontva

t² = e² - 2eb + b²

A két utóbbi egyenlet közül az elsőből kivonva a másodikat adódik

(B) a² - t² = 2eb

****************

Ezek után az 1. módszer szerinti megoldás

(c/2)² = (a/2)² - m²

A derékszögű háromszög átfogóhoz tartozó magassága

m = eb/a

ezzel

(c/2)² = (a/2)² - (eb/a)²

Műveletvégzés és összevonás és a tört eltüntetése után

a²c² = a^4 - (2eb)²

A (B) összefüggés behelyettesítése és öszevonás után

a²c² = t²(2a² - t²)

ebből a végeredmény

c = (t/a)√(2a² - t²)

================

2. A Ptolemaiosz tétel felhasználásával

Csak ismétlésként: a tétel szerint a húrnégyszögekben az átlók szorzata egyenlő a szemben fekvő oldalpárok szorzatának összegével, vagyis

ef = ac + bd

esetünkben legyen

f = e

d = b

így az összefüggés

e² = ac + b²

alakú lesz, amit átrendezve kapjuk

ac = e² - b²

formát.

Felhasználva az (A) összefüggést a két egyenlet

ac = e² - b²

t = e - b

Az elsőt elosztva a másodikkal lesz

ac/t = e + b

ezt négyzetre emelve

(ac/t)² = e² + 2eb + b²

a² = e² + b² (Pithagotasz tétel a háromszögre)

Az elsőből kivonva a másodikat

(ac/t)² - a² = 2eb

A (B) összefüggést behelyettesítve

(ac/t)² - a² = a² - t²

(ac/t)² = 2a² - t²

A bal oldalt felbontva és mindkét oldalt t²-tel szorozva

a²c² = t²(2a² - t²)

Ugyanaz, mint az előző megoldás utolsó előtti sora, így a megoldás is ugyanaz.

c = (t/a)√(2a² - t²)

============

A rajz még nincs kész, de addig is elküldöm a megoldást, mert szerintem a rajzot bárki meg tudja csinálni: egy hagyományos jelölésű, egy thalesz körbe rajzolt trapéz, a hosszabbik alapja 'a', a rövidebbik 'c', a szárak jele 'b', az átlók jele 'e', a derékszögű háromszögbe írt kör sugara 'r'.

Amint kész a mű, azonnal küldöm. :-)

DeeDee

*******

Találtam egy megoldást általános esetre, még ma elküldöm.

DeeDee

******

Rajzolás közben bevillant, hogy sokkal egyszerűbben is meg lehet oldani a feladatot!

A rajz maradt, azonnal nekiálltam az ötlet kidolgozásának. De lesz rajz is. :-)

Tulajdonképpen egy egyenlő szárú háromszög alapját kell meghatározni úgy, hogy ismert a két szára és az általuk bezárt szög.

Nem tudom, korábban miért nem tünt fel...

Legyen

δ - Thalesz kör középpontjából a keresett 'c' oldal (BC szakasz) végpontjaihoz húzott két sugár által bezárt szög

α, ß - a két háromszög kisebbik hegyesszöge

a - a Thalesz kör átmérője

A koszinusz tétellel a keresett oldal

c = (a/2)√(2(1 - cosδ)

Négyzetre emelve

c² = a²/2(1 - cosδ)

2c²/a² = 1 - cosδ

(A) 1 - 2c²/a² = cosδ

***********************

A szögek

δ = 180 - (2α + 2ß)

δ = 180 - 2(α + ß)

α + ß = φ

δ = 180 - 2φ

cosδ = cos(180 - 2φ)

cosδ = -cos2φ

cosδ = -cos²φ + sin²φ

cosδ = -1 + 2sin²φ

ezt behelyettesítve az (A)-ba

1 - 2c²/a² = -1 + 2sin²φ

2 - 2c²/a² = 2sin²φ

egyszerűsítve

1 - c²/a² = sin²φ

c²/a² = 1 - sin²φ

c²/a² = cos²φ

c/a = cosφ

és

c = a*cosφ

a φ = α + ß értékét betéve

c = a*cos(α + ß)

============

Meglepően egyszerű képlet, de még hiányzik a középpontok távolságának bevezetése.

Ezt a következőképp csináltam

t² = (t1 + t2)² + (r2 - r1)²

ahol

t1, t2 - a körök középpontjának távolsága az átfogóra (AD távolság) merőleges egyenestől

A felhasznált összefüggések

t1 = (f - d)/2

t2 = (e - b)/2

r1 = (f + d - a)/2

r2 = (e + b - a)/2

r2 > r1

ahol

f - az ABD háromszög hosszabbik befogója (a négyszög egyik átlója)

d - az ABD háromszög rövidebb befogója

r1 - az ABD háromszögbe írt kör sugara

e - az ACD háromszög hosszabbik befogója (a négyszög másik átlója)

b - az ACD háromszög rövidebb befogója

r2 - az ACD háromszögbe írt kör sugara

A levezetést mellőzném, egy kis algebrai gyakorlat másnak sem árt. :-)

A végeredmény a lényeg, ami szerint

a² - t² = fb + ed

****************

Az előző eredmény adta az ötletet, hogy mi lenne, ha ezt az összefüggést is "szögfüggvényesíteném"...

Osszuk el mindkét oldalt a²-tel

1 - t²/a² = fb/a² + ed/a²

1 - t²/a² = (f/a)(b/a) + (e/a)(d/a)

A rajz alapján a hányadosokat beírva (szögfüggvények a derékszögű háromszögben)

1 - t²/a² = cosß*sinα + cosα*sinß

Nagyszerű, az ötlett bejött! :-)

A jobb oldal egy szép összeg!

1 - t²/a² = sin(α + ß)

Itt már megjelenik a középpontok távolsága, amit hiányoltunk

Az előző eredménnyel együtt van két egyenletünk

1 - t²/a² = sin(α + ß)

c/a = cos(α + ß)

Mindkét egyenletet négyzetre emelve, majd összeadva és műveleteket elvégezve, majd a keresett 'c'-t kifejezve azt kapjuk, hogy

c = (t/a)√((2a² - t²)

=============

ami pontosan ugyanaz, mint a már elküldött, a húrtrapéz esetén kapott megoldás!!!

Vagyis kiderült, hogy lényegtelen a középpontokat összekötő egyenes helyzete, csak a hossza számít!

Szerkesztéssel is ellenőriztem, és jó!

Végül egy érdekesség.

Vegyük a

c = a*cos(α + ß)

összefüggést.

Mindkét oldalt elosztva 'a'-val és a jobboldalt kibontva

c/a = cosα*cosß - sinα*sinß

Beírva a szögfüggvényeknek megfelelő hányadosokat

c/a = (e/a)(f/a) - (b/a)(d/a)

összevonva a jobb oldalon

c/a = ef/a² - bd/a²

Mindkét oldalt beszorozva a²-tel

ac = ef - bd

átrendezve

ef = ac + bd

ami nem más, mint a Ptolemaiosz-tétel!

Meglepett! :-)

Részemről ezzel megoldottnak tekintem a feladatot, de van bennem hiányérzet.

Van-e ennél rövidebb, elegánsabb megoldás?

Zavar a két megoldás - a speciális és az általános - azonossága. Ez biztos nem véletlen.

Örülnék, ha tudna valaki egy érthető, világos bizonyítást küldeni a két megoldás szükségszerű(?) azonosságára.

DeeDee

**********

U.i.:

Remélem, a levezetés részletessége kielégíti a kedves kérdező igényeit.

Természetesen, ha van kérdésed, azonnal írj.

DeeDee

******