Exponenciális egyenletrendszerek?!

Mert pl az irodalomnak baromi sok értelme van. Kőszívű ember fiait meg Aranyembert olvasni, az igen, annak rengeteg haszna van az életben.

Idáig mindenki eljut: "Nincs érzékem hozzá". Az, hogy mondjuk önállóan nekiálljon gondolkodni, az már a legtöbb embernek fáj. Kicsit odafigyelni, érdeklődni, az már nehéz.

Megmondjam mire jó? Ülsz az állásinterjún, a felvételiztető pedig erre gondol: "Ez a csávó meg tud oldani exponenciális egyenleteket. B.@zmeg ez annyira nem lehet hülye". Ezért kell tanulni ilyeneket.

A "műveltség része". Na ez a másik kedvencem. Igen, az Aranyemberből megtudhatod hogy gondolkoztak az emberek SZÁZÖTVEN ÉVVEL EZELŐTT! Rengeteg mást olvastam, aminek százszor több értelme volt, sokkal többet megtanulhattam belőle, sokkal több elgondolkodtató részletet tartalmazott.

Nem is értem, miért vitatkozok olyan emberrel, aki nem képes egy kétismeretlenes egyenletrendszert megoldani, és még ő van felháborodva, ha ezt valaki a szemére veti. Mert "neki nincs érzéke hozzá!" Mihez, a józan gondolkodáshoz? Miért gondolod, hogy az a normális, ha ezt nem tudod?

Nagyon jó házastársak lennétek, halljátok :D

Amúgy én is belenéztem a feladatokba de nem vágom. Vegitaéssongoku, vagy valaki, segítsetek már neki :D De ezt az eszmecserét máskor is folytassátok, nagyon érdekes :P

Ezekhez a feladatokhoz 2 darab azonosságot kell ismerni:

1. Azonos alapú hatványok szorzásánál az alapot a kitevők összegére emelhetjük, képlettel: a^n*a^m=a^(m+n), például:

5^3*5^8=5^(3+8)=5^11

2^4*2^10=2^(10+4)=2^14

Buktatók: ha a szám (esetleg) nincs ellátva kitevővel, akkor rögtön azt hiszik, hogy a kitevője 0, pedig valójában 1:

7*7^8=7^1*7^8=7^(1+8)=7^9

2. Azonos alapú hatványok osztásánál az alapot a számláló és a nevező kitevőjének különbségére emeljük, képlettel: a^n/a^m=a^(n-m).

A permanenciaelv alapján mondhatjuk a következőket:

Ha n=m, akkor a^(n-m)=a^n/a^m, és mivel ha a nem nulla, akkor ennek a kettőnek a hányadosa 1, vagyis tetszőleges nemnulla szám hányadosa 1.

Ha n<m, akkor a pozitív kitevőjű hatvány reciprokát kapjuk.

Na, ezeket használjuk. Megcsinálom a b)-t, utána a többi már ez alapján menni fog.

(1)-ben a fenti azonosságok alapján átírjuk a hatványokat:

3*4^x/4^2+2*3^y*3=14

Most nevezzünk el: 4^x=c és 3^y=d, ekkor az egyenlet:

3c/16+2*d*3=14.

Ugyanezt megcsináljuk (2)-vel is:

5*3^y*3^2-2*4^x/4=-17, de ebben ugyanazok az ismeretlenes vannak, ezért az elnevezés is azonos lesz:

5*d*3^2-2*c/4=-17, tehát az új egyenletrendszerünk:

3c/16+2*d*3=14

5*d*3^2-2*c/4=-17

Vonjunk össze mindkettőben, amit tudunk:

3c/16+6d=14

45d-c/2=-17

A második egyenlettel könnyebb dolgunk lesz; ebből fejezzük ki c-t; adjunk mindkét oldalhoz c/2-t:

45d=-17+c/2 /+17

45d+17=c/2 /*2

90d+34=c, ezt beírjuk az első egyenletbe c helyére:

3(90d+34)/16+6d=14 /zárójelbontás

(270d+102)/16+6d=14 /*16

270d+102+96d=224 /összevonás

366d+102=224 /-102

366d=122 /:366

d=122/366=1/3, ebből már kiszámolható c értéke is:

c=90d+34=90*1/3+34=30+34=64.

De ezzel még nem vagyunk kész, mivel nekünk x és y értéke kell. Tudjuk, hogy d=3^y, és d=1/3, ezért az ekvivalencia reláció miatt 3^y=1/3. Ez egy egyszerű exponenciális egyenlet; mindkét oldalt hozzuk 3-as alapra:

3^y=3^(-1) /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

y=-1, továbbá

c=4^x és c=64, ezért

4^x=64 /4-es alap

4^x=4^3 /az exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

x=3.

Ellenőrzés: ezeket beírod a megfelelő helyre és kiszámolod.

Remélem ebből megvilágososdsz :)