Ha van olyan szám, aminek a négyzete -1, akkor miért nem vezetnek be egy olyan, másfajta komplex számot, aminek az abszolútértéke -1?
Értelmezhető-e a gyök, ha hozzácsapjuk az i tagot is?
k=(a+bi+ck)(a+bi+ck)
=a^2-b^2+c^2+2abi+2ack+2bcik
Kihasználjuk, hogy k*i=i:
(a^2-b^2+c^2)+2b(a+c)i+2ack=0
(a^2-b^2+c^2)=0 ÉS (b=0 VAGY (a+c)=0) ÉS a*c=1/2
Emeljük ki c-t:
c=1/(2a)
Ezt behelyettesítve:
(a^2-b^2+1/(2a)^2)=0 ÉS (b=0 VAGY (a+1/(2a))=0)
Nézzük az első esetet, hogyha b=0:
(a^2+1/(2a)^2)=0
4*a^2=-1/a^2
4*a^4=-1
Ez nem lehetséges, mivel a-nak valós számnak kell lennie.
Nézzük a második esetet, hogyha (a+1/(2a))=0:
a=-1/(2a)
a^2=-1/2
Ez szintén nem lehetséges, mivel a-nak valós számnak kell lennie.
Na de korábban levezettem, hogy k*i=-i is igaz, ezt kihasználva:
(a^2-b^2+c^2)+2b(a-c)i+2ack=0
(a^2-b^2+c^2)=0 ÉS (b=0 VAGY (a-c)=0) ÉS a*c=1/2
Emeljük ki c-t:
c=1/(2a)
Ezt behelyettesítve:
(a^2-b^2+1/(2a)^2)=0 ÉS (b=0 VAGY (a-1/(2a))=0)
b=0-ra már korábban beláttuk, hogy nem lehetséges, ezért nézzük a (a-1/(2a))=0 feltételt:
a=1/(2a)
a^2=1/2
a=√2/2 vagy a=-√2/2
Itt eljesen mindegy, melyikkel folytatjuk, ugyanis 'a' négyzetre van emelve:
(a^2-b^2+1/(2a)^2)=0
(1/2-b^2+1/2)=0
b^2=1
b=1 vagy b=-1
Számoljuk ki c értékét is:
c=1/(2a)=a
Tehát a megoldások:
√k=√2/2+i+√2/2*k
√k=-√2/2+i-√2/2*k
√k=√2/2-i+√2/2*k
√k=-√2/2-i-√2/2*k
válasza:Lassítsunk csak! Hogy is volt ez?
> Nézzük i*k értékét:
> i*k=x
> Mivel 1/i=-i és 1/k=k ezért i*k=-1/(i*k).
> Ebből: x=-1/x
Ennek a két megoldása:
i * k = -i
valamint
i * k = i
Osszuk csak le mindkét oldalt i-vel:
i*k / k = (0+ik) / (i+0k) = (0*i-i*0)/(i²-0²) + (i*i-0*0)/(i²-0²)*k = (0+1k) = k
-i / i = (-i+0k) / (i+0k) = (-i*i-0*d)/(i²-0²) + (i*0-0*-i)/(i²-0²)*k = -1 + 0k
i / i = (i+0k) / (i+0k) = (i*i-0*d)/(i²-0²) + (i*0-0*i)/(i²-0²)*k = 1 + 0k
Ergo:
i * k = -i #osztva mindkét oldalt i-vel:
k = -1
i * k = i #osztva mindkét oldalt i-vel:
k = 1
Mindkettőre oké, hogy k²=1, viszont akkor ez egy kicsit problémás…
~ ~ ~
Összeadás:
(a+b*k)+(c+d*k)=(a+c)+(b+d)*k
k=1 esetén:
(a+b*1)+(c+d*1) = (a+c*1)+(b+d*1) = (a+b)+(c+d)
Kivonás esetében hasonló a dolog.
Szorzás:
(a+b*k)*(c+d*k) = (ac+bd)+(cb+da)*k
k=1 esetén:
(a+b*1)*(c+d*1) = (a+b)*(c+d) = (ac+bd) + (cb+da)*1 = ac + ad + bc +bd
Kvázi itt is visszakaptuk két összeg szorzatának képletét.
Osztás:
(a+b*k)/(c+d*k) = (ac-bd)/(c²-d²) + (cb-da)/(c²-d²) * k
k=1 esetén:
(a+b*1)/(c+d*1) = (ac-bd)/(c²-d²) + (cb-da)/(c²-d²) * 1
(a+b) / (c+d) = (ac-bd)/(c²-d²) + (cb-da)/(c²-d²)
(a+b) / (c+d) = ((ac-bd)+(bc-ad)) / (c²-d²)
(a+b) / (c+d) = (a+b)(c-d) / ((c-d)(c+d))
(a+b) / (c+d) = (a+b)(c-d) / ((c-d)(c+d))
(a+b) / (c+d) = (a+b) / (c+d)
Csak annyi, hogy itt c≠d. De egyébiránt megint visszakaptunk egy önazonosságot.
~ ~ ~
Gyakorlatilag olyan, mintha kettéosztanánk egy valós számot, az egyik felét hagynánk valós számnak, a másikat meg ellátnánk egy „k” címkével.
Nézzük is meg kicsit közelebbről, válasszunk pár random paramétert:
a := 5
b := 7
c := 13
d := 19
Összeadás:
(5+7k)+(13+19k) = 18 + 26k
k-kat kihagyva:
(5+7)+(13+19) = 18 + 26
12 + 32 = 18 + 26
44 = 44
Kivonás:
(5+7k)-(13+19k) = -8 - 12k
k-kat elhagyva:
(5+7)-(13+19) = -8 - 12
12 - 32 = -8 - 12
-20 = -20
Szorzás:
(5+7k)*(13+19k) = 198 + 186k
k-kat elhagyva:
(5+7)*(13+19) = 198 + 186
12 * 32 = 198 + 186
384 = 38
Osztás:
(5+7k) / (13+19) = 17/48 + 1/48 * k
k-kat elhagyva:
(5+7) / (13+19) = 17/48 + 1/48
12 / 32 = 18 / 48
3 / 8 = 3 / 8
~ ~ ~
Ergo:
k = 1
Ergo:
5 = 5+0k = 4+1k = 3+2k = 2+3k = 1+4k = 5k
~ ~ ~
Kijött még, hogy:
1/k = k
2/k = 2k
3/k = 3k
…
k=1 esetén:
1/1 = 1
2/1 = 2*1
3/1 = 3*1
…
A √k esetét majd esetleg később lehetne boncolgatni.
Én abban látom a problémát, hogy ha vesszük mindkét oldal abszolútértékét:
k*i=i
|k*i|=|i|
|k|*|i|=|i|
-1*1=1
-1=1
Olyan kifejezést kéne találni x=-1/x-re, amiben benne van a valós rész, az i és a k is, továbbá teljesül, hogy az abszolútértéke -1.
x*x=-1
(a+bi+ck)(a+bi+ck)=-1
=a^2-b^2+c^2+2abi+2ack+2bcik
ik=x
=a^2-b^2+c^2+2abi+2ack+2bc*x
=a^2-b^2+c^2+2abi+2ack+2bc*(a+bi+ck)
=a^2-b^2+c^2+2abc+(2ab+2b^2*c)*i+(2ac+2bc^2)*k
Ebből:
a^2-b^2+c^2+2abc=-1 ÉS 2ab+2b^2*c=0 ÉS 2ac+2bc^2=0
Majd később folytatom...
válasza:> Én abban látom a problémát, hogy
> […]
> -1=1
Igen, ezért ellentmondásos egy kicsit az aritmetikád, ha k=-1. De k=1 esetén konzisztens.
~ ~ ~
Még √k esetét boncolgassuk kicsit.
Ha k=1, akkor nyilván √k = ±1.
Viszont (±1+0k)² = 1, de ha k=1, akkor stimmel is, mert 1=k
Illetve ha átcsoportosítunk, akkor:
(0+k)² = 1
De ez is stimmel, ha tudjuk, hogy k=1
Tulajdonképpen ha k=1-et vesszük alapul, akkor bármelyik (a + (1-a)k)² kifejezés megfelel:
(a + (1-a)k)*(a + (1-a)k) =
= (a²+(1-a)²)+(a*(1-a)+a(1-a))*k =
= (a² + (1-a)²) + (2*a*(1-a))*k =
= (a² + 1² - 2a + a²) + (2*a - 2a²) k =
= (2a² -2a + 1) + (-2a² + 2a)k
Ha itt behelyettesítjük, hogy k=1, akkor:
= (2a² -2a + 1) + (-2a² + 2a)k =
= (2a² -2a + 1) + (-2a² + 2a) =
= 2a² - 2a + 1 - 2a² + 2a =
= 1
És mivel k=1, ezért stimmel.
~ ~ ~
Hogy az „abszolút értéknek” csúfolt csiribú-függvényeddel mi a helyzet, az más kérdés. Ott vannak gondok.
Pl.:
4+1k = 2 + 3k
Viszont:
f(4+1k) = sgn(4²-1²) * √|4²-1²| = sgn(15) * √15 = √15
f(2+3k) = sgn(2²-3²) * √|2²-3²| = sgn(-5) * √5 = -√5
Márpedig ha az a kikötésünk, hogy ha
a = b
akkor
f(a) := f(b)
akkor bizony ez a feltétel nem teljesül. A csiribú-függvényed ennek a kritériumnak nem tesz eleget.
~ ~ ~
Akárhogy nézzük, ha k=1, akkor minden stimmel. Ha tudsz ellenpéldát hozni, ahol a k=1-et behelyettesítve az általad definiált alapműveletek és azok eredményei nincsenek összhangban, akkor szólj.
Amúgy az (n + nk)-val való osztás azért nem stimmel, mert az osztásnál egy 0/0-val való szorzást vezettél be tulajdonképen azzal, hogy az egészet beszoroztad egy
(c-d*k)/(c-d*k)
kifejezéssel, ami ugye k=1 esetén (c-d)/(c-d), tehát c=d esetén egy 0/0 szorzó. (El ne kezdj határértékkel számolni, mert ignorálom. :-) )
~ ~ ~
Szóval a lényeg, hogy k=1. De kellett pár nap, hogy rájöjjünk. :-) Pedig érzetre triviálisnak kellett volna lenne már csak a
k = 1/k
n*k = n/k
alapján is, hiszen melyik az a szám, ami „nem oszt, nem szoroz”, azaz végül is tulajdonképpen neutrális elemként viselkedik? Hát az 1.
Az, hogy k=1-re IS érvényesek ezek a műveletek, az még nem azt jelenti, hogy k=1, hiszen az elsősorban az abszolútértékkel van definiálva, nem ezekkel a műveletekkel.
"k = 1/k
n*k = n/k
alapján is, hiszen melyik az a szám, ami „nem oszt, nem szoroz”, azaz végül is tulajdonképpen neutrális elemként viselkedik? Hát az 1."
Ez oszt is, meg szoroz is, csak egyészen véletlenül ugyanazt kapjuk szorzásnál meg osztásnál.
Olyan, mint a -1-gyel való szorzás, vagy osztás, teljesen ugyanazt kapjuk, de mégse azt hívjuk neutrális elemnek, mivel megváltoztatja a számot.
Nézzük ezt az ik szorzatot:
a^2-b^2+c^2+2abc=-1 ÉS 2ab+2b^2*c=0 ÉS 2ac+2bc^2=0
Tegyük fel, hogy b és c nem 0 (ha c=0, akkor az abszolútérték nem lehetne negatív, ha b=0, akkor viszont az első egyenlet nem lehetne negatív):
a^2-b^2+c^2+2abc=-1 ÉS 2a+2bc=0 ÉS 2a+2bc=0
ekkor két azonos egyenletet kapunk, amiből a értéke kifejezhető:
a=-bc
Ezt behelyettesítve:
(bc)^2-b^2+c^2-2b^2*c^2=-1
-(bc)^2-b^2+c^2=-1
Szükségünk van még egy egyenletre, ami az abszolútérték:
-1=sgn(a^2+b^2-c^2)*√(|a^2+b^2-c^2|)
Ebből:
c^2>a^2+b^2
|a^2+b^2-c^2|=1
Ez csak akkor lehetséges, ha:
a^2+b^2-c^2=-1
Használjuk ki, hogy a=-bc:
(bc)^2+b^2-c^2=-1
Ez pont a másik egyenlet -1 szerese, ami így ellentmondás.
Az is lehet, hogy abban van a hiba, hogy k^2-et 1-nek definiáltam (de mi más lehetne?).
Megvan a megoldás... Vezessünk be egy 4. egységet!
Ekkor viszont a régi k-t jelöljük j-vel.
Egy szám az alábbi alakban lesz felírható:
z=a+bi+cj+dk
Az egységekre a következő lesz igaz:
1^2=1, |1|=1
i^2=-1, |i|=1
j^2=1, |j|=-1
k^2=-1, |k|=-1
És így már teljes a kép.
Az abszolútérték definíciója a következő:
|z|=sgn(a^2+b^2-c^2-d^2)*√(|a^2+b^2-c^2-d^2|)
Ekkor viszont meg kell határozni ij, jk és ik értékét ahhoz, hogy definiálni lehessen az aritmetikai műveleteket.
Nézzük először ij érékét:
x=ij
x*x=i*i*j*j
Mivel i^2=-1 és j^2=1:
x*x=-1
Erre megoldás lehetne az i, de az nem jó mert akkor ij=i lenne, amiből j=1
Így a megoldás: ij=k, vagy ij=-k
Nézzük jk értékét:
x=jk
x*x=j*j*k*k
Mivel j^2=1 és k^2=-1:
x*x=-1
Erre a megoldás lehetne a k, de az nem jó mert akkor jk=k lenne, amiből j=1
Így a megoldás: jk=i, vagy jk=-i
Nézzük ik értékét:
x=ik
x*x=i*i*k*k
Mivel i^2=-1 és k^2=-1:
x*x=1
Erre a megoldás lehetne 1 vagy -1, de akkor ik=1 vagy -1 lenne, és mivel 1/i=-i. ezért k=-i, vagy k=i lenne.
Így a megoldás: ik=j, vagy ik=-j
Nézzük az ijk szorzatot is:
x=ijk
x*x=i*i*j*j*k*k
Mivel i^2=-1 és j^2=1 és k^2=-1:
x*x=1
Ekkor x lehetne j, de akkor ijk=j lenne amiből ik=1, ami nem igaz.
Így a megoldás: ijk=1, vagy ijk=-1
Ez eddig eléggé hasonlít a kvaterniókra, de azért mégsem teljesen az.
De melyik legyen, a plusz vagy a minusz?
Tegyük fel, hogy ij=k (tehát nem -k).
ekkor ijk=k*k=-1
Nézzük jk értékét:
jk=ijk/i=-1/i=i
Nézzük ik értékét:
ik=ijk/j=-1/j, de mivel 1/j=j, ezért ez -j
Tehát:
ij=k
jk=i
ik=-j
ijk=-1
És itt nem számít a műveleti sorrend.
Ha ij értékét -k-nak vesszük fel, akkor viszont összes előjel megfordul (de inkább maradjon ez, mert a kvaternióknál is tök ugyanez van, csak ott megfodul az előjel, ha megcserélünk két tagot).
Nézzük az abszolútértékeket:
ij=k
|ij|=|k|
|i|*|j|=|k|
1*-1=-1
jk=i
|jk|=|i|
|j|*|k|=|i|
-1*-1=1
ik=-j
|ik|=|-j|
|i|*|k|=|-j|
1*-1=-1
ijk=-1
|ijk|=|-1|
|i|*|j|*|k|=|-1|
1*-1*-1=1
Nincs ellentmondás (de akkor se lenne, ha mindegyik a -1 szerese lenne).
Aritmetikai műveletek:
Összeadás: (a+bi+cj+dk)+(e+fi+gj+hk)=(a+e)+(b+f)i+(c+g)j+(d+h)k
Kivonás: (a+bi+cj+dk)-(e+fi+gj+hk)=(a-e)+(b-f)i+(c-g)j+(d-h)k
Szorzás: (a+bi+cj+dk)(e+fi+gj+hk)=(a+bi+cj+dk)e+(a+bi+cj+dk)fi+(a+bi+cj+dk)gj+(a+bi+cj+dk)hk
=(ae+bei+cej+dek)+(afi-bf+cfk-dfj)+(agj+bgk+cg+dgi)+(ahk-bhj+chi-dh)
=(ae-bf+cg-dh)+(be+af+dg+ch)i+(ce-df+ag-bh)j+(de+cf+bg+ah)k
Négyzet: (a+bi+cj+dk)^2=(aa-bb+cc-dd)+(ba+ab+dc+cd)i+(ca-db+ac-bd)j+(da+cb+bc+ad)k
=(a^2-b^2+c^2-d^2)+2(ab+cd)i+2(ac-bd)j+2(ad+cb)k
Osztás: majd később...
Nézzük, hogy az abszolútérték definíciójára is igaz-e az alábbi összefüggés:
|x*y|=|x|*|y|
|(a+bi+cj+dk)(e+fi+gj+hk)|=|a+bi+cj+dk|*|e+fi+gj+hk|
|(ae-bf+cg-dh)+(be+af+dg+ch)i+(ce-df+ag-bh)j+(de+cf+bg+ah)k|=|a+bi+cj+dk|*|e+fi+gj+hk|
|z|=sgn(a^2+b^2-c^2-d^2)*√|a^2+b^2-c^2-d^2|
ebből:
(ae-bf+cg-dh)^2+(be+af+dg+ch)^2-(ce-df+ag-bh)^2-(de+cf+bg+ah)^2=(a^2+b^2-c^2-d^2)*(e^2+f^2-g^2-h^2)
a^2*e^2+a^2*f^2-a^2*g^2-a^2*h^2-4adeh+4adfg+b^2*e^2+b^2*f^2-b^2*g^2-b^2*h^2+4bceh-4bcfg-c^2*e^2-c^2*f^2+c^2*g^2+c^2*h^2-d^2*e^2-d^2*f^2+d^2*g^2+d^2*h^2=a^2*e^2+a^2*f^2-a^2*g^2-a^2*h^2+b^2*e^2+b^2*f^2-b^2*g^2-b^2*h^2-c^2*e^2-c^2*f^2+c^2*g^2+c^2*h^2-d^2*e^2-d^2*f^2+d^2*g^2+d^2*h^2
-4adeh+4adfg+4bceh-4bcfg=0
ad(fg-eh)-bc(fg-eh)=0
(ad-bc)(fg-eh)=0
ad-bc=0, vagy fg-eh=0
ad=bc, vagy fg=eh
Ez így sajnos nem igaz (hacsak nem rontottam el valamit).
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2025, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!