Ha van olyan szám, aminek a négyzete -1, akkor miért nem vezetnek be egy olyan, másfajta komplex számot, aminek az abszolútértéke -1?

Az abszolútértéket úgy kell megalkotni, hogy ha az egyik tag helyére 0-t írunk, akkor a másikkal ne jöjjön ki ellentmondás.

Ezért először ezt írtam fel:

|a|-|b|

de hogy legyen valami négyzetes-gyökös jellege, azért írtam fel inkább így:

sgn(a^2-b^2)*√(|a^2-b^2|)

"Sőt lehet egyszerűsíteni: sgn(a²-b²) = sgn(a-b)"

Ez így nem igaz, mert ha a=1 és b=-2, akkor -1=1.

"Illetve annyit változtatnék még, hogy nem abszolút értéknek nevezném, de nem is abszolút érték*-nak, hanem mondjuk csiribú-függvénynek."

Azért merem ezt mégis abszolútértéknek nevezni, mert ha k együtthatója 0, akkor visszakapjuk az eredetileg definiált abszolútértéket.

"Szintén érdekes, hogy nem lehet értelmezni az (n+nk)-val való osztást"

Vegyük az alábbi kifejezést:

(1+k)*(1+k)/(1+k)

Itt, ha előbb leosztunk, akkor a végeredmény 1+k.

Viszont ha előbb a szorzást végezzük el:

(1+1+2k)/(1+k)=(2+2k)/(1+k)=2

Viszont ez azért van, mert nem cserélhető fel a műveleti sorrend, vagy azért, mert 1+k-val nem lehet még egyszerűsíteni sem?

Nézzük meg a következő kifejezést:

(2+k)*(2+k)/(2+k)

Ha előbb leosztunk, akkor a végeredmény 2+k.

Ha előbb szorzunk:

(5+4k)/(2+k)=(6+3k)/3=2+k

Itt nincs semmi probléma.

Tehát sajnos be kell nyelni, hogy nem lehet osztani 1+k-val (vagy n+nk-val) még akkor se, hogyha önmagát akarjuk leosztani.

Nézzük i*k értékét:

i*k=x

Mivel 1/i=-i és 1/k=k ezért i*k=-1/(i*k).

Ebből: x=-1/x, ez viszont i-re és -i-re is teljesül, ami okozhat problémát.

"Nem veszed komolyan a saját műveleti definícióidat"

Szándékosan nem a definíció szerint számoltam, hogy leellenőrizzem, hogy így ad-e valami hibát.

Mert pl. ha van egy ilyen függvény, hogy:

(x^2-x-2)/(x+1)

és ennek keressük az határértékét az x=-1 pontban, akkor, (x+1)/(x+1) kiesik, mivel mindkettő "ugyanolyan erős" 0.

Itt viszont még az se kondható el, hogy k+1 azonosan erős k+1, mint a k+1, miközben egyik sem 0.

Nézzük az alábbi határértéket:

lim{a→1, (a+k)*(a+k)/(a+k)}

Ha definíció szerint elvégezzük a szorzást:

=lim{((a^2+1)+2a*k)/(a+k)}

Ha definíció szerint osztunk:

=lim{((a^2+1)*a-2a)+(2a^2-a^2-1)*k)/(a^2-1)}

=lim{((a^3-a)-(a^2-1)*k)/(a^2-1)}

Újból osztunk, a definíció szerint:

=lim{a+1*k}=1+k

Ha először osztunk, a definíció szerint:

lim{(a+k)*(a+k)/(a+k)}

=lim{(a+k)*1}=1+k

Ez eddig teljesen jó.

Térjünk vissza ehhez a kifejezéshez:

lim{((a^2+1)+2a*k)/(a+k)}

=2*lim{((a^2+1)/2+a*k)/(a+k)}

Itt alkalmazzuk azt, hogy lim{f/g}=lim{f}/lim{g}, ha lim{f}≠0 és lim{g}≠0:

=2*lim{(a^2+1)/2+a*k)}/lim{a+k}

=2*(1+k)/(1+k)

Itt a definíció szerint nem tudunk leosztani, viszont még azt se tudjuk kihasználni, hogy "azonosan erős" a két (1+k), mivel különböző függvényekkel közelítettük őket.

Viszont a normál határértéknél pl. ha kijön az, hogy 2/2 akkor leoszthatunk, még akkor is, ha teljesen más függvényekből jöttek ki.

Tehát az 1+k itt úgy viselkedik, mintha 0 lenne, de mégsem az.

Lássuk, hogy az abszolútérték függvényemre igaz-e az, hogy |x*y|=|x|*|y|:

|x*y|=|(a+bk)*(c+dk)|=|ac+bd+(cb+da)*k|

=sgn((ac+bd)^2-(cb+da)^2)*√|(ac+bd)^2-(cb+da)^2|

=sgn(a^2*c^2+b^2*d^2+2acbd-c^2*b^2-d^2*a^2-2cbda)*√|a^2*c^2+b^2*d^2+2acbd-c^2*b^2-d^2*a^2-2cbda|

=sgn(a^2*c^2+b^2*d^2-b^2*c^2-a^2*d^2)*√|a^2*c^2+b^2*d^2-b^2*c^2-a^2*d^2|

|x|*|y|=|(a+bk)|*|(c+dk)|

=sgn(a^2-b^2)*√(|a^2-b^2|)*sgn(c^2-d^2)*√(|c^2-d^2|)

=sgn((a^2-b^2)*(c^2-d^2))*√(|a^2-b^2|*|c^2-d^2|)

=sgn(a^2*c^2+b^2*d^2-b^2*c^2-a^2*d^2)*√|a^2*c^2+b^2*d^2-b^2*c^2-a^2*d^2|

Ez azt is jelenti, hogyha bármilyen függvényt megszorzunk (1+k)-val, akkor annak az abszolútértéke 0 lesz.