Ha van olyan szám, aminek a négyzete -1, akkor miért nem vezetnek be egy olyan, másfajta komplex számot, aminek az abszolútértéke -1?

"Olyan, mintha azt mondanám pl. hogy:

y^2+4=0

(y+1)^2-2y-x=0

Ennek a megoldása x=-3, pedig annak sincs értelme, hogy veszek egy yxy m²-es területet majd hozzáadok egy 4 m²-es területet, akkor eltűnik a terület. Na ez ugyanúgy nem értelmezhető."

Az első egyenletnek hol megoldása az x=-3? Kezdjük ott, hogy nincs is benne "x" tag, a négyzetre emelés miatt pedig "y" biztosan pozitív lesz, ezért valós számok halmazán már eleve nincs megoldása ennek az egyenletrendszernek.

> Gyártottam egy olyan egyenletrendszert, amelynek a megoldása x-re valós szám, de mégis ki kell lépni a feladat dimenziójából ahhoz, hogy meg lehessen oldani: […]

Nem, nincs haszna. Van bármilyen számhalmaz – valós, komplex, kvaternió –, amiben az általad felírt egyenletrendszerben létezik olyan általad ismert x és y értéke, amire az egyenletrendszernek az abszolút érték definíciójával van megoldása, csak éppen nincs rá matematikai eszközöd, hogy megold az egyenletrendszert úgy, hogy megoldásaként az általad ismert megoldások jönnek ki?

Nem ez a helyzet áll fenn.

A imaginárius egység bevezetésénél viszont ez a helyzet állt fenn. Volt egy 2x³ + 6x² + 7x + 6 = 0 egyenlet, és ennek keresték a megoldását a valós számok halmazán. De ahhoz hogy a valós megoldáshoz eljussunk, ahhoz volt szükség közbenső lépésként kiterjeszteni a valós számok halmazát. Az már extra következmény, hogy így a valós megoldásokon kívül komplex számként is felírható megoldások is születtek. De itt – ellentétben a te eseteddel – itt egy probléma, aminek tudjuk, hogy van megoldása a valós számok halmazán, tudjuk is hogy mennyi – mert mi konstruáltuk meg egy ismert x-ből magát az egyenletet –, csak éppen nem tudunk a komplex számok bevezetése nélkül az egyenlettől eljutni a megoldásig. Ez – a tieddel ellentétben – valós probléma. Az más kérdés, hogy később kiderült, hogy a komplex számok más területen is remekül használhatóak.

Te egyszerűen egy olyan egyenletre akarsz mégis ráerőszakolni – kvázi szó szerint – egy megoldást, aminek nincs megoldása. Mondom, ez pont annyira értelmes, mint ráerőszakolni, hogy az x=x+1 egyenletnek legyen megoldása, mert „olyan nincs, hogy nincs megoldása”. De van, van olyan, hogy valaminek nincs megoldása. Sőt bizonyos okokból muszáj is, hogy ne legyen megoldása minden egyenletnek.

y² + 4 = 0

(y+1)² - 2y - x = 0

Nézzük a második egyenletet:

(y+1)² - 2y - x = 0

x = (y+1)² - 2y

x = y² + 2y + 1 - 2y

x = y² + 1

A második egyenlet ezt mondja. Kicsit nyakatekertebben volt eredetileg felírva, de a második egyenletből annyi derül ki, hogy x = y² + 1.

~ ~ ~

Oké, nézzük az első egyenletet:

y² + 4 = 0

y² = -4

y² = 4 * (-1)

y² = 2² * (-1)

~ ~ ~

És itt akkor vizsgáljuk meg alaposabban a kérdést. Ha a valós számok halmazán vizsgálódunk, akkor nincs olyan y, amire az első egyenlet teljesülne, így nincs olyan y, amit be tudnánk helyettesíteni a második egyenletbe, tehát nincs olyan (x, y) páros, amire az egyenletrendszer igaz lenne. Az egyenletrendszernek nincs megoldása a valós számok halmazán.

~ ~ ~

Ha viszont komplex számok halmazán vizsgálódunk, akkor:

y² = 2² * (-1)

y² = 2² * i²

y² = (2i)²

y = ±2i

Ezt visszahelyettesítve a második egyenletbe, azt kapjuk, hogy:

x = y² + 1 = (±2i)² + 1 = 2*(±i)² + 1 = 2*(-1) + 1 = -4 + 1 = -3

Tehát ha valós számok halmazán vizsgáljuk, akkor két olyan (x, y) páros van, amire az egyenletrendszer fennáll:

x = -3 és i = 2i

illetve

x = -3 és i = -2i

~ ~ ~

Viszont attól, hogy komplex számok halmazán x-re kaptál egy valós értéket, attól még valós számok halmazán nem megoldása az egyenletrendszernek az x=-3. Valós számok halmazán nincs olyan (x, y) páros, amire az egyenlet fennállna.

~ ~ ~ ~ ~ ~ ~

Most mondok egy példát. Legyen egy r sugarú kör. Ekkor a területe:

T = r²π

Oké, most mondjuk azt, hogy az átmérőre állított négyzet területe 1 m²-rel kisebb, mint a sugárra állított négyzeté.

(2r)² +1 = r²

4r² + 1 = r²

3r² + 1 = 0

3r² = -1

Oké, akkor van olyan kör, amire a feladatleírás ráillik. Hát nincs. Az átmérőre állított négyzet mindig nagyobb lesz, mint a sugárra állított négyzeté. Nincs ilyen kör. Tehát az ilyen nem létező körnek pont annyira nincs területe, mint amennyire sugara sincs.

Persze lehet absztrakt módon is megoldani a feladatot, valahogy komplex számként értelmezve a r-t. Úgy kijön, hogy

r = ±(1/3)i

T = (-1/3)π = -1,047…

Hogy aztán a sugarat hogyan értelmezzük komplex számként, az más kérdés, de vonatkoztassunk el a dolog fizikai realitásától.

Viszont ha visszavetítjük, akkor elmondhatjuk, hogy a feladat eredeti, valós számokon értelmezett megoldása az, hogy az ilyen kör területe -1,047… m², viszont nincs neki sugara? Hát ez így nyilván elég nagy sületlenségnek hangzik.

~ ~ ~

Ahogy írtam már párszor, ha lenne olyan valós/racionális/egész/természetes x és y, amelyek esetén tudjuk, hogy az egyenletek igazak, de az egyenlet nem megoldható a hagyományos matematikai eszközökkel, akkor vagyunk kénytelenek egy új matematikai eszközt, értelmezést, fogalmat kitalálni, hogy eljussunk az egyenletektől az általunk már ismert megoldásig.

A te példád megint nem ilyen, nincs olyan valós x és y, amire az egyenlet fennállna, így a komplex számok bevezetése nem indokolt. Ha komplex számok halmazán értelmezzük az egyenletrendszert, akkor máris van megoldás, csak akkor meg nem kellett bevezetni semmiféle új fogalmat a komplex számokhoz képest.

Én sajnálom, hogy meg sem próbálod megérteni, csak bizonygatod az igazadat...

De akkor utoljára leírom még egyféleképpen, még egyszerűbben, hátha most az egyszer elgondolkozol rajta: Az abszolútérték-fgv egy olyan függvény, ami egy számhoz egy pozitív számot rendel hozzá. Egyszerűen nincsenek a függvény kimeneti halmazában negatív számok. Nem tudsz egy szám absz. értékéhez negatív számot rendelni, mert nincs, azaz nincs negatív szám a halmazban. Az abszolútérték-fgv. gépezet nem ismeri a negatív számokat. Nem tud olyan eredményt adni, ami negatív. Definíciójából következik, hogy csakis pozitív szám lehet a kimenet. Ha ezt kijátszod, akkor az ellentmondás, ellentmondó axióma rendszerből pedig bármi kijöhet.