Ha van olyan szám, aminek a négyzete -1, akkor miért nem vezetnek be egy olyan, másfajta komplex számot, aminek az abszolútértéke -1?

Na ne mond. Komplex számoknak az abszolút értéke gyök(a^2+b^2). Egyre kevésbé gondolom úgy, hogy tisztában vagy az algebrával és úgy általában a komplex számokkal...

"Én viszont kibővítem a számhalmazt egy új egységgel, amiről semmit nem mond az abszolútérték függvény, mivel eddig csak a valós (vagy komplex) számokon értelmeztük. Tehát jogom van úgy definiálni ezt az egységet, hogy az a szám, aminek az abszolútértéke -1."

Ezt akkor légyszíves vezesd le algebrailag, hogy mi jön ki belőle. Tehát mutasd meg, hogyan fog kinézni ebben az új halmazban az összeadás, kivonás, szorzás, osztás, miképpen jön ki az egységelem (nullelem), milyen tulajdonságok jellemzőek rá (asszociativitás, disztributivitás, stb.). Ameddig ezeket nem vezeted le, addig nincs miről beszélni, hiszen könnyen meg lehet, hogy ellentmondások lesznek a halmazban, amik érvénytelenítik az egészet.

De milyen harmadik egység, könyörgöm. Egy halmazban egy db. egységelem van a műveletre nézve. Ha ennyire nem vagy tisztában az algebrai alapokkal, akkor hogyan akarsz bővítést végrehajtani?

"A műveletek definiálása még a jövő kérdése, de pl. az összeadás meg a kivonás tagonként történne."

Akkor vezesd le hogyan működik az összeadás ebben az új halmazban, nekem mindegy.

Akkor fogjuk meg a dolgot az elnevezésen keresztül. Az abszolút latin eredetű szó. A jelentése (jelen kontextusban): független. Sokszor a relatív a fogalmi ellentéte, ami szintén latin eredetű szó, a jelentése: viszonyítva. Mondjuk egy A pont távolsága B-hez viszonyítva – B-hez relatíven – ennyi, C-hez viszonyítva meg annyi. Az abszolút távolság az valamilyen kitüntetett ponthoz képesti távolság, ami függetlenül attól határozza meg A pont helyzetét, hogy éppen az B-hez, vagy C-hez viszonyítva hol van.

A szám fogalomnál is ezt jelenti az abszolút: független. A számegyenesen ugye van kitüntetett pont, ez pedig a nulla. A számegyenesen ehhez képest lehet egy szám a pozitív és a negatív irányban. Az abszolút érték itt ettől az iránytól való függetlenséget jelent, azaz előjelfüggetlen értéket. A komplex számsíkon nem csak két irány van, hanem végtelen számú irány. De az abszolút érték itt is ezt jelenti: a szám nagyságát, mértékét, a 0-hoz képesti távolságát adja meg, függetlenül annak irányától. Ha a komplex számot vektorral reprezentáljuk, akkor a vektor hossza az, ami a vektort abszolút értékben jellemzi. Pont ezért az az összefüggés, hogy

k = a + b*i | a,b∈ℝ

komplex szám esetén

|k| = √(a²+b²)

hiszen ez adja meg a 0+0i origóhoz mérten a komplex szám nagyságát, függetlenül annak irányától.

Az abszolút érték tehát szükségszerűen egyetlen nemnegatív valós szám.

Bármit találsz ki, ami nem teljesíti ezt a kritériumot, arra nem megfelelő elnevezés az abszolút érték.

Te ezzel a negatív abszolút értékkel tulajdonképpen szögletes golyót akarsz gyártani. Csakhogy a golyónak az a jellegzetessége, hogy nem szögletes, pont ez a meghatározó tulajdonsága. Ha szögletes lenne, nem hívhatnánk golyónak.

Ahogy látom sikerült a komplex számok analógiájára megalkotnod… a komplex számokat. :-)

Csak mert ahogy nézem ezeknek a műveleteknek a definíciója egy az egyben azonos a komplex számokkal.

> De tőlem nevezhetjük abszolútérték*-nak is.

Tudok jobbat, és akkor hadd változtassak a felírásodon:

|a+b*k|=sgn(a^2-b^2)*√(|a^2-b^2|)

helyett:

♣a+b*k♣ := sgn(a²-b²) * √|a²-b²|

vagy még inkább:

f(a+b*k) := sgn(a²-b²) * √|a²-b²|

Sőt lehet egyszerűsíteni: sgn(a²-b²) = sgn(a-b)

Illetve annyit változtatnék még, hogy nem abszolút értéknek nevezném, de nem is abszolút érték*-nak, hanem mondjuk csiribú-függvénynek.

~ ~ ~

Amit csináltál az gyakorlatilag a komplex számok leírása, meg csináltál egy függvényt, aminek történetesen az értékkészletének részük a negatív számok is. Ez azért nem egy nagy kunszt. Ilyen alapon egyszerűbb lett volna egy ilyen megoldás:

f(a+b*k) := a-b

(vagy ha ragaszkodunk a függőleges vonalakhoz, akkor: |a+b*k| := a-b)

Ez is fel tud venni negatív értéket, ugyanúgy nem fejez ki semmiféle abszolút értelemben vett mértéket, mint a tied, ugyanúgy nem mond el semmi különösen fontosat a számról, csak egyszerűbb.