Ha van olyan szám, aminek a négyzete -1, akkor miért nem vezetnek be egy olyan, másfajta komplex számot, aminek az abszolútértéke -1?

most tekintsünk el attól, hogy i-nek van gyakorlati haszna. még akkor is, ha neked erről (eléggé nyilvánvalóan) fogalmad sincs.

a matematikában olyan dolgokat szoktak bevezetni, aminek legalább elméleti haszna van.

ennek még senki nem látta meg az elméleti hasznát se.

de nosza, ha már ilyen ügyes vagy, mutasd meg, vezesd be. ne más farkával verd a csalánt...

"miért nem vezetnek be egy olyan, másfajta komplex számot"

Ebből látszik, hogy nem értesz hozzá. A "másfajta komplex szám" alatt gondolom számhalmazokat akartál érteni. Új számhalmazt akkor vezetnek be, ha pl. műveletek eredményei adott esetben a használt halmazon kívülre mutatnak. Nem látok párhuzamot ez és a te kérdésed között.

Miért vezetnének be?

A matematika általában valamiféle valós probléma mentén hoz létre új rendszereket. A komplex számok megszületésének nem önmagában az volt a célja, hogy negatív szám gyöke is feltétlenül értelmezhető legyen, hanem a harmad-, negyedfokú egyenletek megoldásánál volt szerepe. Nyilván ebből fakad, hogy itt negatív szám gyökével kellett dolgozni, és ebből fakadt az az összefüggés, hogy i² = -1.

De hangsúlyozni kell, hogy nem az volt a cél, hogy egy addig nem értelmezhető kifejezésnek is értelmezést adjanak, az csak áttételes következmény volt.

Az abszolút érték fogalma sem öncélú. A lényege pont abban rejlik, hogy az egy nemnegatív valós szám legyen. Ha Aladár és Béla életkorának különbségéről beszélünk, akkor ezt úgy tudjuk kezelni egy nemnegatív értékként, hogy tisztában lennénk azzal, hogy Aladár, vagy Béla az idősebb. Az abszolút értéknek azzal a fő jellegzetességgel kell bírnia, hogy:

|a-b| = |b-a|

Az, hogy ez történetesen nemnegatív szám lesz, az inkább csak következmény, mintsem elvárás.

A komplex számoknál is ez volt az abszolút érték fogalmának kiterjesztése. Hosszról van szó, kvázi két komplex szám különbségének abszolút értéke a két pontra felfeszített egydimenziós koordináta tengelyen vett különbség abszolút értéke.

Vagy más megközelítésben az abszolút érték a mértéket, nagyságot határozza meg, függetlenül az irányultságtól. Vagy megint más megközelítésben egy változó érték változásának nagyságát, mértékét fejezi ki.

~ ~ ~

Ha valaki egy valós probléma mentén alkot egy olyan szám-modellt, amiben racionális, illetve praktikus okok miatt célszerű az abszolút értéket úgy értelmezni, hogy az akár negatív, ne adja az ég, komplex szám legyen, akkor oké.

De pusztán azért létrehozni egy szám-modellt, hogy létezzen olyan x szám, ahol |x|∉ℝ⁺∪{0}, annak se oka, se szükségessége, se értelme nem lenne, egy teljesen öncélú valami lenne, mindenféle praktikusság, jelentőség nélkül. Ha nagyon akarsz, kreálhatsz olyan szám-modellt, amiben az abszolút értéknek van ilyen jellege, csak éppen a kutya nem fogja sehol használni, mert nem egy valós igény keltette életre. (Sőt lehet a történelem során alkottak ilyen szám-modellt, csak mivel nem volt jó semmire, így nem is őrizte meg az utókor ennek az emlékét.)

~ ~ ~

> Viszont régen pl. még a negatív számokat se értelmezték, utána jöttek a törtszámok, irracionális számok, komplex számok...

Igen, de megint hangsúlyozzuk, hogy ezek nem azért jöttek létre, hogy legyen belőlük még egy, hanem azért, hogy valami általánosabb, absztraktabb módon fogjuk meg ugyanazt a világot, ezáltal matematikai eszközzel, absztrakt módon is képesek legyünk leírni egy valós történést. (Nyilván ebből származik az is, hogy ezek a halmazok egymás részhalmazai.)

~ ~ ~

A problémád – és ha nem tévedek a személyeddel kapcsolatban, akkor hosszú évek óta –, hogy nem érted a matematika mibenlétét. Te fordítva ülsz a lovon. Számodra a matematika nem egy eszköz a valós világ absztrahálására, egy valós probléma absztrakt térben történő általános megoldásának eszköze, hanem egy még az absztrakttól is elszakadt önálló valaminek kezeled, ami már semminek nem az absztrakciója, így nem is jó semmire, értelmetlen, jelentőségtelen, használhatatlan, felesleges.

Ilyen alapon foglalkozhatnál teljesen új matematikai fogalmak kreálására. Mondjuk egy szám digitlineáris indexe az az érték, ahány egyenes szakasz van a számjegy tízes számrendszerbeli alakjában. Ez pont annyira önkényes, öncélú bővítése a matematikának, aminek pontosan ugyanannyi értéke van: semennyi. Mert nem jó semmire.

Kérdező, maximum te nem tudod, hogy mi volt a gyakorlati haszna. Soha semmit nem vezettek még be anélkül, hogy gyakorlati haszna lenne.

Amit te be szeretnél vezetni az több okból sem jó: értelmetlen, ellentmond az absz. érték definíciójának és semmilyen matematikai problémát nem old meg.

"Csak ez mondjuk nem a komplex számsíkon lenne értelmezve, hanem a komplex számtérben"

Csak kíváncsiságból: Te mit értesz komplex számsík és komplex számtér alatt?