Mi az a végtelen?

A gráfos témához hozzászólva: A gráf egy halmaz, pontok, és élek halmaza. Egy véges halmaz számossága megegyezik az elemeinek számával, tehát egy természetes szám. ℵ₀ viszont nem természetes szám, pusztán egy fogalom, egy attribútum, ami megadja a végtelen halmaz számosságát, de nem szám. Így az ℵ₀-t, mint hosszúságot nem igazán lehet értelmezni, hiszen az számosságot fejez ki és nem mennyiséget. Magyarán az ℵ₀ és ℵ₁ nem szám, de számosság.

Mondjuk tényleg érdekes kérdés, hogy mit is jelent az, hogy út, mondjuk egy irányítatlan gráfban. Első közelítésben ugye nem más, mint csomópontok és élek váltakozása, illetve olyan élek sorozata, ahol két szomszédos élnek van közös csomópontja. Illetve olyan csomópontok sorozata, ahol minden egymást követő két csomóponthoz létezik él.

Ebben az esetben az út leírható csomópontok sorozatával. Ilyen módon az útvonal egy halmazzá válik, és minden útvonalnak meg lehet feleltetni egy természetes számokból álló sorozatot, így egy természetes számot is. Innen nézve az út hossza azonos számosságú, mint a természetes számok számossága.

Persze ha hurkokat is megengedünk egy útvonalban, akkor kicsit cizellálódik a kép. De itt is igaz, hogy bármilyen hosszú véges úthoz hozzá lehet rendelni egy természetes számot, tehát a második kérdésedre a válasz, hogy nincs ℵ₀-nál hosszabb út, ha egyáltalán lehet egy útvonal hosszát ℵ-el kifejezni.

Persze innen jön egy látszólagos ellentmondás, mert ugye egy végtelen halmaz és egy véges részhalmaz különbsége érdekesen viselkedik, hiszen végtelen halmaznak kell, hogy tartsuk. Ha A a végtelen halmaz (mondjuk a természetes számok), és B egy véges halmaz (mondjuk az 1 és 100 közötti egész számok), akkor az A\B végtelen halmaz. Ha itt veszünk egy útvonalat, akkor a B halmaz elemeit ha hozzá vesszük, akkor hosszabb útvonalat kapunk. Tehát ott az A\B halmaz, ahol van egy ℵ₀ számossággal leírható hosszúságú út, és ehhez hozzáveszünk a B halmazból további csomópontokat. Nos ekkor látszólag ℵ₀-nál hosszabb utat kapnánk. De nem. Pont azért nem mert ℵ₀ ugyanúgy viselkedik, mint a ∞. Nem egy számként kell elképzelni. A ∞+1 > ∞ összefüggés nem áll meg így ebben a formában.

Pl. a prímszámok számossága is ℵ₀ és a páros számok számossága is ℵ₀. Általánosan fogalmazva egy halmaz és annak valódi részhalmaza lehet azonos számosságú. Ez véges halmazokra természetesen nem értelmezhető, hiszen ha van egy 10 elemű halmaz, akkor az elemek száma adja meg a számosságot, így bármely valódi részhalmaza ennél kisebb számosságú. Tehát az ℵ₀ nem egy szám, nem lehet hozzáadni, kivonni, de vannak bizonyos összefüggései.

Tényleg azt gondolom, hogy a végtelenre nem számként kell gondolni, hanem egy jellemzőként. Hogy egy hétköznapi, nem teljesen korrekt analógiát hozzak, olyan, mint a „határtalan” vagy a „nyitott” fogalma. Ha van egy határtalan mező, akkor hiába növeled a területét, attól még nem lesz határa. Sőt hiába csökkented a területét, vagy osztod fel részekre, azaz húzol válaszfalakat belül, attól még nem lesz határa, nyitott marad. Valahogy így tudom emberi ésszel felfogható módon értelmezni a végtelent.

* * * * *

#8-ra hadd válaszoljak még, még ha el is kanyarodtunk a témától. A pontot mindig úgy próbáljuk elképzelni, mint kicsi golyókat, vagy mint pixeleket a képernyőn. De ez a megközelítés hibás. Inkább úgy érdemes elképzelni a kiterjedés nélküli valamit, mintha lenne egy hosszú, vékony rudad. Ha valahol kettévágod, akkor keletkezik egy érintkezési felület. A két rúd hosszának összege a vágatlan rúd hosszával fog megegyezni, ezért a felületnek 0 a vastagsága.

Most egy kicsit el kell vonatkoztatni a megtanult képtől, mely szerint egy fizikai rúd atomokból áll, így van egy minimális vastagsága. Ha ez megy, akkor el tudod képzelni, hogy egy 1 m-es rudat fel lehet darabolni mondjuk 1 cm-es darabokra. Az 1 cm-est meg 1 mm-es darabokra. A felületek 0 vastagságúak. 0 vastagságú elemekből nem lehet véges vastagságot „kirakni”. Akármilyen kicsi darabka rudad van, annak van vastagsága. A két végpontja ezért különböző. De bármely kicsi is a rúddarab – hangsúlyozom, nem az atomokból álló képet kell elképzelni – tetszőlegesen sok szeletre vágható. Ha csak vágási felületek vannak, és nincsenek közötte ott a rúddarabok, akkor abból soha semmi nem fog összeállni.

Így értelmezve egy véges rúddarabot végtelen számú darabra lehet vágni, tehát végtelen sok pont van benne. Nem nem igaz az, hogy végtelen sok pontból áll össze. A két kijelentés úgy különbözik, minthogy ahogy a „a tortában fél kiló liszt van” és az „a torta fél kiló lisztből áll, a torta nem más, mint fél kiló liszt” kijelentés.

De összességében ha számolgatunk hosszakat, egyebeket, akkor elegendő a vágásokat nézegetni, teljesen el lehet tekinteni attól, hogy milyen anyagból van az adott rúd, hány vágás van benne, stb… Ha számokról van szó, akkor a vágásokról van szó, ha 2D koordinátákról van szó, akkor vágások metszéséről van szó…

> Az érvelésed igencsak sántít.

Pedig nálam még nem panaszkodott. Biztos messze laksz, és az úton sántult le. Mondjuk ha ℵ₀ hosszúságú az út közöttünk, akkor nem is csodálom. :-)

De amúgy tényleg sántít az érvelésem, mert nem arról beszéltem, ami a kérdés volt. Egy végtelen teljes gráfban található útvonalak (és séták) számáról kezdtem el írni. Biztos fáradt voltam.

> A számosság és a mennyiség nagyon rokon fogalmak.

Ezt mondom én is. Rokon fogalmak, de nem azonosak, van közöttük némi különbség.

> Speciel Alefnull hosszú út létezik is, mindjárt kettő is

Ez eddig oké, ezt nem is vitattam, de közvetlenül nem is kapcsolódik a kérdéshez.

> A számosságok a természetes számok valamiféle általánosításai.

Beszéltem ℵ₁-el. Ő kikéri magának ezt a kijelentést. :-)

De a számosság pont ott tér el egy közönséges természetes számtól, ahogy a ∞ is. A páros számok is végtelen sokan vannak. Az ő számosságuk ℵ₀. A páratlan számok számossága is ℵ₀. A két halmaz uniójának számossága is ℵ₀, ami miatt következik, hogy ℵ₀+ℵ₀=ℵ₀, sőt ha nem a kettővel osztás maradéka alapján határozzuk meg a részhalmazokat, hanem bármilyen egész számmal (n, ahol n 2-nél nagyobb egész) való osztás maradékával, akkor n*ℵ₀=ℵ₀. De egy végtelen halmaz bármelyik végtelen részhalmazának a számossága is ℵ₀. Összeadással és szorzással nem lehet ℵ₀-t elhagyni.

> A sétát a hagyományok szerint nem illik útnak nevezni. Az út definiálásának kérdése a végtelen gráfokra vonatkozó általánosításra vonatkozott, hiszen itt nem magától értetődő. A sétákat azért nem jó útnak nevezni, mert az úthosszra nem teljesülne a háromszögegyenlőtlenség.

Valóban nem igazán választottam el a kettőt egymástól. Nem ez így nem igaz, egyszerűen túl régen tanultam már ahhoz, hogy megmaradjanak a pontos fogalmak, így valahogy elfelejtődött a kettő közötti különbség. De ettől még persze el tudok valahogy képzelni egy végtelen gráfot és érzem a kérdésre a választ, csak eddig nem igazán sikerült megfogalmaznom. De összességében az út ha jól emlékszem egy olyan séta, amely során nem érintjük ugyanazt a csúcspontot kétszer vagy többször.

Az út fogalmának pontos definiálásától akár el is tekinthetünk. A séta egyértelműbb fogalom. Egy gráfban mi a nagyobb? A leghosszabb út hossza, vagy a leghosszabb séta hossza? A leghosszabb út nem lehet hosszabb, mint a leghosszabb séta, hiszen az egy olyan út lenne, amin nem lehet tenni egy sétát. (Egy gráf nem katonai bázis, amiben van olyan út, amin nem lehet sétát tenni. :-) ) Tehát ha a leghosszabb séta hosszáról teszünk megállapítást, akkor egyben az leghosszabb út maximális hosszáról is teszünk megállapítást.

Egy séta, akár vannak benne hurkok, akár nincsenek, akár kör, akár bármi más megfeleltethető egy koordináta rendszer pontjainak, ha az y tengelyen ábrázolod a csúcspont sorszámát, az x tengelyen meg ábrázolod a kezdőpont óta megtett lépéseket. Pl. egy (5,3,1,5,4,3,5,4) sétát lehet ábrázolni a következő koordinátákkal (0,5),(1,3),(2,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,5),(7,4). Ilyen módon az útvonal hossza az x tengelyen ábrázolódik, tehát bármely tetszőlegesen hosszú véges séta hossza megfelel az ilyen módon történő ábrázolásban a végpont x tengely koordinátájának. Ezért egyértelmű megfeleltetés van a hossz és a természetes számok között, tehát a hossz nem lehet nagyobb számosságú, mint ℵ₀. Más interpretálásban: Egy tetszőlegesen nagy véges sétáról lehet naplót vezetni:

1. nap: Megérkeztem a 5. csomópontba, gyönyörű a kilátás.

2. nap: Megérkeztem a 3. csomópontba, az idő kezd felhősödni.

3. nap: Megérkeztem at 1. csomópontba. Kicsit aggódok a felhők miatt, mert az első nap elhagytam az esőkabátomat.

4. nap: Hmmm… Mintha itt már jártam volna. Nézzük… 5. csomópont. Tényleg jártam már itt… Remek, megvan az esőkabátom is.

Magyarán egyértelműen megfeleltethető az útvonal hossza a természetes számokkal.

Vagy itt egy másik gondolatmenet: Egy Hamilton-út/kör hossza egy végtelen gráfban végtelen – ha úgy tetszik ℵ₀, bár továbbra is furcsának hat nekem ℵ₀-t használni a hosszúságra, mondjuk inkább úgy, hogy a benne szereplő csúcspontok számossága ℵ₀. Minden véges hurok csak hozzáad ehhez a számossághoz (ℵ₀+n), így a számosság ℵ₀ marad. Minden végtelen hurok végtelen hurok ℵ₀ számosságot ehhez a számossághoz, tehát ℵ₀+ℵ₀=2*ℵ₀=ℵ₀ marad a számosság továbbra is.

Szóval nem tudom közelebb viszlek-e a megoldáshoz – azért remélem igen –, de legalább megmozgatom a fejemben maradt gráfelméleti roncsokat.

#16> Kár, hogy az infinitezimalitásról még nem esett itt szó.

Erre a kérdésre nem tudom lehet-e választ adni. A tudásodból ítélve pontosan érted miről van szó. Ennek a kérdésnek a firtatása pont olyan, mint annak a kérdésnek a firtatása, hogy a sakktábla fekete alapon fehér „kockás”, vagy fehér alapon fekete.

Végül is milyen választ lehet adni a „ mikor infinitezimális egy szám” kérdésre? 0,0000001% alatt már igen? Ennek így se füle, se farka. Gyakorlatban lehet azt mondani, hogy olyan kis mennyiség, aminél kisebbel számolva már nem kapunk a pontosságon belül más eredményt. Vagy egy olyan nulla, aminél még azért a nullával való osztás nem okoz a részszámolásoknál problémát. Olyan távolsághoz tartozó mérőszám, aminél a távolságot mikroszkóp alatt megfigyelve sem tudjuk megkülönböztetni a távolságot megtestesítő szakasz két pontját.

Persze ez nem igaz így ebben a formában, mondjuk egy sin(1/x) esetén a fenti megfogalmazásokkal gondban vagyunk, hiszen x bármilyen kis távolsága 0-tól „makroszkopikussá” teszi a változást az f(x) értékében.

Ha nagyon el akarom képzelni, akkor elképzelek egy galaxist, amihez képest a naprendszer már szinte csak egy pont. A naprendszerhez képest egy város is szinte csak egy pont. A városhoz képest egy tégla is szinte csak egy pont. A téglához képest egy atom meg határozottan olyan, mint egy pont. Akkor a galaxishoz képest egy atom már egészen jól szemlélteti a infinitezimális fogalmát.