Tényleg nem léteznek párhuzamos egyenesek?

Az itt a kérdés, hogy mi az, hogy 'létezik'. Lehet olyan modellt készíteni a világról, amiben léteznek párhuzamos egyenesek. Ebben a modellben a szokásos euklideszi geometriát használjuk, ahol van párhuzamossági axióma, tehát vannak párhuzamos egyenesek is. Természetesen ez - mint minden modell - pontatlan.

Valamivel pontosabb a modell, ha projektív geometriát használ. A projektív geometria ugyanolyan, mint az euklideszi, de a párhuzamossági axióma helyett a következő szerepel benne:

Bármely két (egy síkban levő) egyenes metszi egymást.

Bármilyen meglepő, ebből is értelmes dolog sül ki, és még jobban leírja a világot, mint az Euklideszi. Viszont van hátránya is, pl. nehezebben értehető, macerásabb benne számolni.

Remélem meg tudtalak nyugtatni. Szép álmokat :)

Valójában az soha nem volt kérdés, hogy párhuzamosak léteznek-e, vagy sem. Léteznek. A kérdés az volt, hogy hogyan viselkednek.

Euklidész levezette, hogy a síkon egy egyeneshez bármely kívüle levő ponton át legalább egy párhuzamos egyenes húzható. Azt nem tudta ő sem bizonyítani, hogy több mint egy egyenes nem húzható. Ezért találta ki az ötödik axiómát. Ebből következett az a feltételezés hogy a síkon lévő párhuzamos egyenesek soha nem találkoznak.

Ezt cáfolja a görbült terek geometriája. (Gauss, Bolyai J., Lobacsevszkij)

Nem az a kérdés, hogy melyik elméletet alkalmazzuk, hanem hogy melyik az igaz, milyen is valójában a tér. Bebizonyosodott, hogy bár földi viszonyok között nagyon jól alkalmazható az euklidészi elv, de csillagászati méretekben semmiképp. A nagy égitestek mérhetően elgörbítik a teret.

Az axiomatikus geometriában a fogalmak (pont, egyenes, tér) egymás közötti viszonyának néhány, mindenki számára nyilvánvaló tulajdonságát axiómának nevezzük. A geometria minden más jelenségét ezekből vezetjük le. Minden szabály végső soron az axiómákra épül. Így egy kerek, ellentmondásmentes rendszert lehet felépíteni.

Viszont érdekes filozófiai kérdés, hogy mi történik ha egy axiómáról felételezzük az ellenkezőjét (ez azért lehetséges, mert az axiómát véges tapasztalataink alapján fogalmaztuk meg, de újabbak hatására változhat a világképünk). Az jött ki, hogy az 5. axióma átalakítható, az új változatra az előzőhöz hasonló módszerekkel új geometria építhető fel. A párhuzamossági axióma az Euklideszi teret eredményezi. Bolyai feltételezte, hogy az egyenesek nem párhuzamosak, erre egy új geometria épült fel. Ennek a technikának a nyomán további általánosítások, és további geometriák építhetők fel, de az alapvető az euklídeszi és Bolyai-Lobacsevszkij féle.