Mi az a végtelen?

A végtelen csak egy fogalom arra, hogy ha elkezded megszámolni a halmaz elemeit, akármeddig is jutsz, mindig van tovább. Tehát vannak halmazok, amelyeknek végtelen sok eleme van.

Az egyetlen kérdésed, amit megértettem, az utolsó. Ha egy gráfban egy utat veszel, akkor az egyik eleméből elindulva meg tudod számozni az úton lévő csúcsokat 1, 2, 3, ..., tehát megszámlálhatóan végtelen csúcs lehet csak egy úton (és egyébként akármelyik végtelen gráfban, amely összefüggő, és egy csúcsából véges sok él indul).

1 és 2 között is van végtelen

1 < 1,1 < 1,11 < 1,111 < 1,1111 < 1,11111 < 1,111111

Tehát folytathatnám így az örökkévalóságig is.

"... talan csak a fekete lyuk belsejeben..."

Még ott sem.

Mikor a végtelent elképzeljük, akkor mindig valami nagyon sokat képzelünk el, és nem a tényleges végtelent. Végtelen? Az valami 10^646548994654654 szerű érték lesz… Pedig nem. Ez egy nagyon nagy szám, de köze nincs a végtelenhez.

Véges sok szám esetén mindig van egy legnagyobb és legkisebb. Ez természetes, a józan ész szerint elképzelhető. Végtelen esetén ilyenről nem beszélhetünk. Bármilyen nagy számhoz mindig hozzá lehet adni egyet, tehát bármilyen nagy számról is beszélünk, az nem végtelen.

Személetes példa a végtelen szobaszámú szálloda, ahol teltház van. Jön egy vendég, szobát kér, és kap. Merthogy a portás mindenkinek azt üzeni, hogy költözzön az eggyel nagyobb szobaszámú szobába, így az első szoba felszabadul.

Az ember próbálja elképzelni, és nem megy. Mert ugye mi van az utolsó szobában lakóval? Az hova költözzön? Az a gond, hogy a szálloda végtelen, tehát nincs utolsó szobája. Bármelyik szobáját is nézzük, van tőle nagyobb sorszámú szoba. Na ez az, amit nem lehet megérteni, csak elfogadni az összefüggéseit, számolni lehet vele, meg lehet szokni.

Amikor azt kérdezed el, hogy mikor tűnik el a különbség a nagyon nagy és a végtelen között, az értelmetlen kérdés. Ez egyenértékű azzal, hogy hányadik szám után jön a végtelenedik szoba. Ha lenne ilyen szám, amit jelöljünk x-el, ami véges szám, akkor a végtelen x+1 lenne, ami megint csak véges szám. De pont arról van szó, hogy végtelen, tehát „nem tűnik el”.

A pontokat gyakran tanítják úgy, hogy nincs kiterjedésük, és az egyenes végtelen sok pontból áll. De ezt sem úgy kell elképzelni, hogy a pontok nagyon kicsi atomnyi méretű valamik, amiket szépen sorba állítva ha nagyon sokat teszel egymás mellé, akkor kiadnak egy métert. Ez a kép teljesen hibás.

A végtelen nem egy „érték”, nem egy „szám”, hanem egy egészen más tartalmú fogalom, ami reprezentál egy bizonyos jelenséget, de egészen más kategória, mint a hagyományos számaink. Ez olyan, mintha a hét napjait meg a tulipánt akarnád egy egyenletben felírni. Egészen más jellegű fogalom a kettő.

> A végtelen aktuális, vagy potenciális fogalom?

Attól függ miről van szó. Ha az egész számok darabszámát nézem, akkor tekinthetem akár potenciálisnak is – főleg ha a fizikai világban próbálom megvalósítani –, persze attól függ hogyan definiálom az „aktuális” és „potenciális” fogalmakat, vagy magát a létezést. Fizikai világban sokkal inkább van értelme ennek a különbségnek, matematikára nem tudom hogyan húzható rá mindez, persze nem ismerem a filozófiának ezt az ágát túlságosan, de ugye a kettő közötti különbségnek van egyfajta időbeliséghez köze, matematikában meg nehéz mondjuk a természetes számok időbeliségéről beszélni. Ha az 1 és 2 közötti valós számok darabszámáról van szó, akkor azt már sokkal inkább közelebb érezzük az aktuálisan létezőhöz.

A végtelennek pont az a sajátossága, hogy az általad firtatott kérdésekre nincs egyértelmű válasz. Az általad keresett különbségek összemosódnak, eltűnnek, egyszerre igazak és egyszerre nem igazak.

A zárójelbeli megjegyzés arra vonatkozott, hogy minden gráfban, ami összefüggő, és a fokszámai végesek, maximum megszámlálhatóan sok csúcs lehet.

A végtelen út pedig összefüggő, és minden fokszáma 2, akár ez is lehetne a definíciója.

(Kell mindkét kitétel. Ha a gráf nem összefüggő, akkor állhat megszámlálhatónál több komponensből, ha pedig van végtelen fokszám, akkor is lehet több, mint megszámlálhatóan sok csúcs. Akkor is, ha csak megszámláhatóan végtelen fokszámok vannak. Pl. legyenek a csúcsok a valós számok, és éllel legyen össze kötve két csúcs, ha a 10-es számrendszerbeli reprezentációjuk csak 1 számjegyben különbözik. Itt most mellőzzük azt a tényt, hogy bizonyos számoknak 2 reprezentációja is van, közülük válasszuk az egyiket.)