Hogy kell bizonyítani ezt az állítást? Mosogatás közben jutott eszembe :D

"Mert ez BÁRMELY síkidomra vonatkozik. Két konkáv, egymást nem metsző és nem érintő síkidom közé is pont ugyanazzal a logikával"

Biztos? :)

[link]

1. Két konvex síkidom közötti LEGKISEBB távolság a két síkidom LEGKÖZELEBBI pontjai közötti távolság.

2. Ha a legkisebb távolság pozitív, akkor ez a távolság megfelezhető, és a felezőpontba húzható olyan egyenes, amely ebben a pontban van a LEGKÖZELEBB a síkidomok BÁRMELY pontjához.

Ezzel a tétel bizonyítva is van :-)

Pedro

Helly tételével lehet bizonyítani. Ennek egyik speciális esete a következő (ezt nem bizonyítom):

"Ha a síkon adott tetszőleges számú zárt félsík és bármely 3-nak van közös pontja, akkor van közös pontja az összes félsíknak is."

Tegyük fel most indirekten, hogy nem lehet elválasztani egymástól a két konvex síkidomunkat egy félsíkkal. Jelöljük A-val és B-vel a két síkidomot és tekintsük az összes olyan zárt félsíkot, amelyik tartalmazza A-t vagy B-t. Ha veszünk 3 félsíkot ezek közül. Ezeknek lesz közös pontja. Az indirekt feltevés miatt ugyanis egy A-t és egy B-t tartalmazónak van közös pontja, két A-t vagy két B-t tartalmazónak pedig nyilván van közös pontja. Helly tétele szerint, mivel bármely 3 félsíkunknak van közös pontja, az összesnek is lesz, jelöljük ezt P-vel. De ennek a P-nek benne kellene lennie A-ban is és B-ben is, hiszen az A-t tartalmazó félsíkok metszete A, a B-t tartalmazó félsíkok metszete pedig B. Vagyis P-nek az A és B metszetében kellene lennie, ami a feltevés szerint az üres halmaz. Ez ellentmondás, ezért az indirekt feltevésünk nem igaz. Vagyis el lehet választani egymástól A-t és B-t egy félsíkkal.

"Helly tételével lehet bizonyítani. Ennek egyik speciális esete a következő (ezt nem bizonyítom):

"Ha a síkon adott tetszőleges számú zárt félsík és bármely 3-nak van közös pontja, akkor van közös pontja az összes félsíknak is." "

Ez az állítás nem igaz (nem tudom, hogy az idézőjel onnan van, hogy valahonnan vetted, vagy magadat idézed, előbbi esetben az idézet helyének jelezni kéne a dolgot, mert ez így elég nagy botorság, a Helly tételben nem véletlenül van feltéve, hogy korlátos halmazokról van szó).

Egyszerű ellenpélda: a félsíkok legyenek az X=1,2,3,.. egyenesek jobboldali félsíkjai. Ekkor bármely 3 közös metszete a legjobboldalibb félsík, viszont az összes félsíknak a közös metszete üres.

Megj.: a Helly tétel ismertebb formája véges sok számú konvex halmaz metszetére vonatkozik, viszont igaz a tétel végtelen sok kompakt (konvex és korlátos) halmazra is.

A félsíkok ugyan nem ilyenek (nem korlátosak), ezért nem teljesen volt korrekt az az állításom, hogy ha bármely 3-nak van közös pontja, akkor az összesnek is van. Úgy helyes a bizonyítás, ha azzal kezdem, hogy vegyünk egy nagy K kört, amiben benne van A és B is és a félsíkoknak csak a K-val való metszetét nézzük.

akkor ehhez is egy kis javítást: a kompakt az korlátos +zárt (nem konvex).

a Helly-tétel síkon helyesen, hogy kompakt konvex halmazokra ha bármely három metszete nem üres, akkor az összes metszete sem.

Ezt leszámítva, ha úgy csinálod, ahogy írtad, a félsíkok helyett a félsíkok körrel vett metszetét veszed, az jó, mert azok konvex kompakt halmazok lesznek, tehát ezekre már alkalmazható a Helly tétel.

Ötletes bizonyítás, nem ismertem.

korlátos nyílt halmazra nem alkalmazható a Helly tételes megoldás, mert korlátos nem feltétlenül zárt thalmazokra nem igaz a Helly tétel (egyszerű ellenpélda: az origó középpontú nyílt körök - origó, ezek metszete üres, viszont bármely véges sok metszete nem üres, hiszen lánc).

Amit lehet csinálni, hogy a nyílt halmazoknak vesszük a lezártját, ezek akkor max a határukban metszhetik egymást, és akkor olyan elválasztás létezését bizonyítjuk, ami nem metszi egyik zárt halmaz belsejét sem - ez megy a Helly tétellel, de a min távolságos módszerrel is.

"Pedro, a te bizonyításod rossz. Képzelj el két deltoidot egymás mellé téve, mondjuk."

- Elképzeltem...

[link]

Pedro