Hogy tudom bizonyítani x^4 + y^3 + x^2 + y + 1 > 9xy/2, ha x, y nem negatív számok? Nem csak a végeredményre vagyok kiváncsi!

Hát hallod nem volt valami könnyű, de végül megoldottam azt hiszem. A lépések a következőek:

x^4+y^3+x^2+y+1>9xy/2

Beszorozzuk 2vel

2(x^4+y^3+x^2+y+1)>9xy

Kivonunk 9xy-t, és azt is bevisszük a zárójelbe, úgy, hogy abból is kiemelünk 2-t

2(x^4+y^3+x^2+y+1-4,5xy)>0

Most jön a nehezebb része, de megpróbálom rendesen elmagyarázni, szóval nem tudom, hogy mennyire ismerős a teljes négyzetté alakítás, de most az következik az egyenlet egy részében:

x^4-4,5xy=(x^2-2,25y)^2-5,0625y^2

Aztán ezt visszaírjuk az eredeti egyenletbe:

2((x^2-2,25y)^2-5,0625y^2+y^3+x^2+y+1)>0

Az egyest kihozzuk a zárójelből:

2((x^2-2,25y)^2-5,0625y^2+y^3+x^2+y)+2>0

Mivel x és y is pozitív számok, nem lehet a hatványuk negatív. Szóval a zárójelen belül mindenképpen nulla vagy pozitív eredményünk lesz, ha ahhoz hozzáadunk még 2-t, akkor az biztosan nagyobb lesz nullánál.

" 2((x^2-2,25y)^2-5,0625y^2+y^3+x^2+y)+2>0 "

Itt van még a zárójelben egy -5,0625y tag is. Az nem pozitív... vagy valamit nem látok?

Harmonikus középpel, ha alulról a jobb oldalt becslem? Nem biztos, hogy jó, csak egy ötlet: gondolok itt a harmonikus és mértani közép közti összefüggésre:

1 / (1/x + 1/y) <= gyökalatt(xy)

Átalakítás után:

[ xy /(x+y) ] <= gyökalatt(xy)

Négyzetre emelem mivel x,y nem negatív

[ xy /(x+y) ]^2 <= xy

Négyzetre emelem a bal oldalt:

(x^2 * y^2)/ (x+y)^2 / <= xy

Beszorzom mindkét oldalt 9/2-del

9/2 * (x^2 * y^2)/ (x+y)^2 / <= 9/2 * xy

mivel a jobboldalon csak négyzetre emelt számok összege van ezért tuti, hogy nem negatív, ezért a jobb oldal is nem negatív.

Nem biztos, hogy hasznos, ez jutott eszembe :)