Hogy kell bizonyítani ezt az állítást? Mosogatás közben jutott eszembe :D

az, hogy van olyan egyenes, amelyik egyiket sem érinti/metszi, az könnyű, hiszen ha elég messze húzom meg tőlük az egyenest, akkor az mindkét síkidomtól elég távol lesz.

Ami érdekesebb (és valószínűleg te is erre gondoltál), hogy van olyan egyenes, ami elválasztja a két síkidomot, tehát az egyik síkidom tőle jobbra van, a másik tőle balra, és egyiket sem érint/metszi.

Ennek a bizonyítása: kiveszel a két konvex síkidomodból a két pontot, amelyek a lehető legközelebb vannak egymáshoz (ilyen pontpár lesz két korlátos zárt halmaznál - ha nem tudod, ez mi, elég az, hogy a síkidomok ilyenek, tehát ott is lesz), és összekötöd őket, majd az összekötő szakasznak meghúzod a felező merőlegesét. Ez egy jó egyenes lesz.

Ugyanis tegyük fel, hogy valahol az egyik síkidom metszené ezt az egyenest, jelöljük a két elején felvett egymáshoz legközelebb lévő pontot Pvel és Qval, és legyen a mondjuk Pt tartalmazó síkidom, amelyik metszi az egyenest egy M pontban. Ekkor a konvexség miatt a PM szakasz benne van a síkidomban, de ezen a szakaszon lesz Qhoz Pnél közelebbi pont, ami ellentmond P és Q választásának, tehát a síkidomoknak nem lehet közös pontja az egyenessel, és az egyik síkidom egyik pontja (P) az egyenes egyik oldalán van, és ezért akkor az egész síkidom azon az oldalon van, a másik síkidom egy pontja (Q) meg a másikon, és akkor ott meg az egész síkidom a másik oldalon lesz, így valóban elválasztja őket.

Hasonló igaz konvex poliéderek síkkal való elválasztására.