A racionális függvények halmaza sűrű a valós függvények halmazában?

A gyökfüggvény racionális? Na de mindegy is. Én biztos vagyok benne, hogy a valós számokénál nincs nagyobb számosság. Az egész számoknak (és a belőle származtatott racionális számoknak) sorozata van, amely nem halmaz. Az egész számok halmazának axiomatikus definiálása a önellentmondó*. Így nem is lehetséges alkalmazni rá Georg Cantor bizonyítását a hatványhalmazokról, mivel az csak halmazokra alkalmazható, sorozatokra értelmetlen. Az egész számok halmazát hibás axiomatikusan definiálni, azt csak az egész számok sorozatának uniójaként lehet definiálni. Ez pedig egy végtelen sorozatra vonatkozó unió képzés, amely divergens sorozaton képezve két lehetséges eredményt ad. Vagy értelmetlen a művelet, vagy a halmazba kerülnek a divergens sorozatunk határértékei, a végtelen nagy egész számok megszámlálhatatlanul végtelen számosságban. Ezek számossága megegyezik a valós számokéval. És ha ennek vesszük a hatványhalmazát, annak is ugyanekkora a számossága.

De ha nem világos amit leírtam, ne is foglalkozz vele. Ez a legtöbb matematikuson kifog. Egy 130 éves dogmát nem képesek elvetni azok, akik ebben nőttek fel.

*

Az egész számok sorozatának definíciói:

A/ 0 egy egész szám, az egész számok sorozatának első tagja.

B/ Minden egész számra van egy rákövetkező egész szám, amely nem azonos semelyik másik egész számmal.

Következmények: Az egész számok sorozata végtelen, nincs utolsó eleme.

Hibás axióma:

C/ Létezik az egész számok sorozatának halmaza, amely csak egész számokat tartalmaz.

Bizonyítás. 1. Az egész számok sorozatából képzett minden véges részhalmaznak van legnagyobb eleme, amelynek rákövetkező tagja nem eleme a részhalmaznak. 2. Nem lehetséges kiválasztani olyan véges részhalmazt, amely minden egész számot tartalmazna. 3. Ha létezne minden egész számot tartalmazó halmaz, amely csak véges egész számot tartalmaz, akkor annak kiválasztható részhalmaznak kell lennie.

És mit jelent, hogy racionális függvények halmaza? Készítsünk egy olyan halmazt ami az összes elképzelhető racionális függvényt tartalmazza? Vagy ezt hogyan képzelted el?

Amúgy doktor bácsi mit is mondott két piros és egy kék bogyó reggel? És este meg a sárgából 2? És ezeket be is szeded minden nap?

#3: "@T. Feri, a racionális függvényt úgy értem, hogy racionális számhoz rendel racionális számot. (És nem mondjuk úgy, hogy két polinom hányadosa.) A valós függvényeket hasonlóan."

Ha így érted, akkor a racionális függvények nem valós függvények.

U. Xorter azt meséld már el végre, hogy mi értelme van a kérdéseidnek? Egyiknek sincs semmi gyakorlati haszna. Inkább menj el Afrikába havat lapátolni vagy Szibériába fürdőruhát árulni, mert még ezek is sokkal értelmesebb dolgok, mint az eszetlen, értelmetlen kérdéseid.

„Na de a racionális és valós függvények között is van ilyen?”

Ne ezzel foglalkozz, inkább próbáld ki a kábelárokásást, kábelfektetést, vagy menj ki a mezőre kapálni. Ezeknek legalább lenne értelme, mert a kérdéseid értelme egyenlő a nullával.