Az, hogy egy egyenes kontinuum számosságú pontból áll, matematikai tétel vagy csak emberi absztrakció? Ha utóbbi, akkor miért nem használunk az egyszerűség kedvéért csak racionális számok alkotta egyenest (meg bármilyen görbét)?

> matematikai tétel vagy csak emberi absztrakció

A matematika egésze emberi absztrakció.

> Ha utóbbi, akkor miért nem használunk az egyszerűség kedvéért csak racionális számok alkotta egyenest (meg bármilyen görbét)?

Mert vannak olyan mennyiségek, amik nem fejezhetők ki racionális számokkal. Tetszőlegesen megközelíthetők, de az csak közelítő lesz.

Tulajdonképpen nem egyszerűsítés lenne csak racionális számokat számon tartani, hanem bonyolítás.

A legenda szerint amely a Hippaszosz történetéről szól is az irracionális számokról is szól. Hippaszosz a pitagoreusok közé tartozott, akik hittek abban, hogy minden szám egész számok arányaként kifejezhető. Amikor Hippaszosz felfedezte az irracionális számokat, például a négyzetgyök 2-t, azzal megingatta a pitagoreusok világképét.

A legenda szerint a pitagoreusok nem tudták elfogadni ezt az új felfedezést, és Hippaszosz elárulása miatt megölték vagy száműzték.

"Én az egészet nem értem honnan jött ez a számosság. Az egyenes az egy alapfogalom, amit nem kell definiálni. A pont úgyszintén."

A számosság előjön mint halmaztulajdonsága ezen matematikai objektumoknak. A pont a sík egy eleme, az egyenes a sík egy valódi részhalmaza. Ahol a sík maga is egy halmaz, a sík pontjainak halmaza.

Az, hogy egy egyenes kontinuum számosságú pontból áll, matematikai tétel, amely a valós számok és a geometriai fogalmak alapjaira épül. A valós számok halmaza valóban kontinuum számosságú, ami azt jelenti, hogy a valós számok közötti távolságok végtelenül sok pontot tartalmaznak, és ezek a pontok nem számlálhatók meg, ellentétben a racionális számokkal, amelyek számlálható halmazt alkotnak.

A racionális számok alkotta egyenes (vagy bármilyen görbe) használata egyszerűsítheti a számításokat, de nem adja vissza a valós számok teljes spektrumát. A racionális számok közötti távolságok nem elegendőek ahhoz, hogy minden lehetséges pontot lefedjenek egy egyenes vonalon. Például a négyzetgyök 2, amely irracionális szám, nem található meg a racionális számok halmazában, így ha csak racionális számokat használnánk, akkor nem tudnánk pontosan reprezentálni az egyenes minden pontját.

Sőt annyira nem reprezentálja az egyenes minden pontját, hogy egyszerűség kedvéért a gondolatkísérletben vegyünk egy véges szakaszt avagy vegyük a számegyenesen a [0-1] intervallumot. Ebből egy pontot válasszunk ki az egyenletességi hipotézis szerint véletlenszerűen. A kiválasztott pont nulla valószínűséggel lesz racionális.

Még érdekesség Dirichlet függvénye , amelynek értéke 1, ha az argumentuma racionális szám és 0, ha az argumentum irracionális. Ez a függvény sehol sem folytonos, a grafikonja kinézete olyan mintha 2 párhuzamos egyenes lenne. Akármilyen nagy nagyításban nézve sem lesz sehol sem "szemcsés" a "kép".

#4 Én ilyen tételről nem tudok. Olyan tétel van, hogy a kontinuum hány pontból áll, ez konkrétan a kontinuum számosságának a tétele, de nincsen köze az egyenesekhez.

A másik, hogy a történet ott bukik meg, hogy ha egy egyenest pontokból építünk fel, akkor a harmadik pont behozatalával az megszűnik egyenes lenni. Mert egyenest csak két pont között lehet húzni. Amint egy harmadik pontra is ráhúzod, az már nem egyenes lesz, hanem valamilyen alakzat, mert a harmadik pontot nem lehet abszolút pontossággal a kettővel megegyező síkba tenni.

Ha elkezded a fizikát racionális számokkal csinálni, akkor hamar észreveszed, hogy bejönnek a valós számok. Mondjuk van egy négyzeted, aminek az élein mehetsz, meg az átlóján, akkor az éle vagy az átlója nem lesz racionális szám. De matematikán belül, geometriában ugyanígy. A több szám jobb.

Amúgy, van az ultrafinitista társaság, akik tagadják hogy végtelen sok szám van. Az egyik jeles képviselőjük Norman Wildberger, aki nem szereti az irracionális számokat sem, és éppen kidolgozza a geometriát irracionális számok nélkül. "Wildberger" és "rational trigonometry" kulcsszavakra próbálj keresni. Persze ha a való világba akarod átültetni, akkor mindenképpen fel kell adnod a szokásos távolság, idő vagy sebesség fogalom valamelyikét (gondolj csak egy négyzetre), és valami mással helyettesítened. Nem biztos, hogy megéri.

> "a Pitagorasz tétel már eleve feltételezi, hogy egy egyenesen minden valós szám szerepel."

Továbbra sincs semmi értelme ennek. Az egyenes egy alapfogalom. Nem számokból áll. Olyan mintha azt mondanád, hogy a macska számokból áll. Semmi értelme nincsen az állításnak.

" Én ilyen tételről nem tudok. Olyan tétel van, hogy a kontinuum hány pontból áll, ez konkrétan a kontinuum számosságának a tétele, de nincsen köze az egyenesekhez."

Definíció: Egy H halmaz kontinuum számosságú, ha párbaállítható a valós számok halmazával.

Példa: A (0,1) intervallum számossága kontinuum.

Példa: A d-dimenziós tér pontjainak számossága kontinuum.

[link]

"A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ez a Birkhoff-féle "vonalzó"-axióma."

[link]

"A másik, hogy a történet ott bukik meg, hogy ha egy egyenest pontokból építünk fel, akkor a harmadik pont behozatalával az megszűnik egyenes lenni. Mert"[...]

Továbbá alapozó : Nevezetes ponthalmazok – Mértani helyek

[link]

Feladat : Döntsd el, hogy az alábbi pontok közül melyek vannak rajta az 𝑦=−𝑥+1 egyenletű egyenesen: 𝐴(−4;5), 𝐵(−1;3), 𝐶(2;2), 𝐷(5;−4), 𝐸(100;−99), 𝐹(871;−872)!

[link]

Nem nekem kell a feladat megoldását kiszámolnod, hanem neked informálódni, hogy ilyen csacsiságokat ne írj.

Még kiegészítés, az hogy amiről beszélünk az egy matematikai modell amely axiómákból épül fel és ellentmondásmentes. A cerizával vagy más íróeszközzel rajzolt egyenes csak véges hosszú tud lenni, atomokból épül fel, nem egyenértékű a matematikai absztakcióval. Nem szabad összekeverni a kettőt.

"Ha fogsz egy egységoldalú négyzetet, akkor annak csak akkor négyzetgyök kettő az átlója, ha eleve feltételezed, hogy az egyenesek irracionális számokból is állnak."

Mivel négyzetet írsz, így legalább 2 dimenziós , ha 2 dimenziós akkor sík. A sík esetében pedig számpárok halmazából áll egy síkidom (tulajdonképpen egy szakasz vagy egy egyenes is).

"Ugyanis a négyzetgyök kettő a Pitagorasz tételből jön ki, és a Pitagorasz tétel már eleve feltételezi, hogy egy egyenesen minden valós szám szerepel."

Az ókori görögök tudása szerint nem létezett olyan szám amely kifejezi az átlóját. Az irracionális számok felfedezése jelenlegi ismereteink szerint Püthagorasz filozófus-iskolájához, a püthagoreusokhoz kötődik. A püthagoreusok számára ez paradoxon volt, mivel felfogásuk szerint a természetben minden leírható arányokkal, végső soron pozitív egész számokkal. Amire említettem azt a bizonyos legendát.

"A négyzet egy nem létező dolog. Ahhoz derékszögnek is kellene léteznie, de mivel a derékszög irracionális, így nem létezhet."

Ilyen értelemben nem sok értelme van folytatni, ha ilyen szinten nincs egy biztos pont ami alapján van értelme az eszecserének.

Az igaz, hogy matematikai négyzet és matematikai derékszög a fizikai világunkban nem létezik. Arról lehet lamentálni, hogy ezen matematikai objektumok egy vagy több platóni világban a mi világunktól függetlenül önmagukban léteznek e, de az nem tudomány mert se bizonyítani se cáfolni nem lehet.