Azt tudom, hogy a gyök 2 irracionális, és a pi is. De ha van egy képlet, amiben mindekttő szerepel, akkor az lehet-e racionális? Pl. a kettő aránya is biztos irracionális, de ennek a bizonyítását megtalálom valahol?

Két irracionális szám szorzataként vagy hányadosaként születhet egy racionális szám, így nem állítjuk, hogy az összes szám, amelyben irracionális számok szerepelnek egy képletben, mindenképpen irracionális lenne. Egy racionális és egy irracionális szám szorzataként például keletkezhet racionális szám.

Itt egy egyszerű példa: vegyünk egy racionális számot, például 2, és szorozzuk meg egy irracionális számmal, például a négyzetgyök 2-vel (√2). Az eredmény 2 * √2 = √8, ami még mindig irracionális, mivel a négyzetgyök 8 nem egész szám.

Az irracionális számok sokféle kombinációjával létrejöhet racionális szám is, például két irracionális szorzataként. Az irracionális számok összességében gazdag teret alkotnak a matematikában, és meglehetősen összetett viszonyok jöhetnek létre közöttük és a racionális számok között különböző matematikai műveletek alkalmazásával. Az ilyen kérdések és állítások részletes bizonyításai a számelmélet területéhez tartoznak, és a konkrét esetekben a bizonyítások nagyon eltérhetnek.

A példákban bemutatott alapvető összefüggések segíthetnek megérteni, hogy racionális és irracionális számok hogyan viszonyulhatnak egymáshoz matematikai műveletek során. Azonban egy adott szám vagy kifejezés racionális vagy irracionális jellegét bizonyítani kell az adott matematikai szabályok és elvek alapján.

#1 - a te képedben megszületett a mesterséges un-intelligencia:

"Egy racionális és egy irracionális szám szorzataként például keletkezhet racionális szám.

Itt egy egyszerű példa: vegyünk egy racionális számot, például 2, és szorozzuk meg egy irracionális számmal, például a négyzetgyök 2-vel (√2). Az eredmény 2 * √2 = √8, ami még mindig irracionális, mivel a négyzetgyök 8 nem egész szám."

Gondolom mindenki vágja az érvelés logikai hibáját!

XD

Igen, ha van egy képlet, amelyben mind a négyzetgyök (gyök 2), a pi (π), valamint a kettő aránya (2/1) is szerepel, az még mindig lehet irracionális, és ebben az esetben a bizonyítását is megtalálhatjuk.

Az irracionális számok olyan számok, amelyek nem írhatók le egyszerű törtként, azaz nem lehet őket két egész szám hányadosaként felírni. A négyzetgyök 2 és a pi mindkettő irracionális számok.

Azonban, ha két irracionális számot veszünk, és ezeket valamilyen módon kombináljuk (például összeadás, kivonás, szorzás, osztás stb.), az eredmény lehet irracionális vagy racionális, attól függően, hogyan kombináljuk őket.

Például a következő képletben:

π + (√2) = irracionális + irracionális

Az eredmény (π + (√2)) továbbra is irracionális marad, mivel a pi és a négyzetgyök 2 is irracionális számok.

Az irracionális és racionális számok kombinálásának eredménye általában a két eredeti szám típusának összekombinálásával határozza meg. Az előző példában mindkét szám irracionális volt, tehát az eredmény is irracionális maradt.

A √2 pl. irracionális. Ennek a bizonyítását sok helyen megtalálod.

A √2 / 2 szintén irracionális kell, hogy legyen, hiszen ha racionális lenne, fel lehetne írni a/b alakban, akkor a √2 is felírható lenne 2a/b alakban, így az is racionális lenne.

A kettő aránya viszont racionális:

(√2 / 2) / √2 = 1/2

Lehet két irracionális szám hányadosa irracionális is, de racionális is.

"... a gyök 2 irracionális, és a pi is. De ha van egy képlet, amiben mindkettő szerepel, akkor az lehet-e racionális?"

Ha érdemben szerepelnek (pl. nincsenek 0-val szorozva), akkor nem. Az ember érzi is, hogy a pi másfajta irracionalis, mint a gyökkettő.

Ha a képletet ügyesen úgy alakítjuk át és emeljük négyzetre, hogy a gyökkkettő eltünjön belőle, akkor a pi valamilyen módon továbbra is benne marad. A négyzetre emelt szám irracionális lesz, ami azt jelenti, hogy a négyzetre emelt szám is az volt.

2# A megadott állításban nincs logikai hiba. Az állítás helyes, és a példa is jól demonstrálja azt.

Az állítás szerint, ha egy racionális számot szorozunk egy irracionális számmal, az eredmény lehet racionális vagy irracionális. A példa pedig azt mutatja be, hogy a szorzat egy irracionális szám, mivel a négyzetgyök 8 irracionális, és az eredmény √8, ami továbbra is irracionális. Az irracionális számok szorzataként létrejöhet racionális szám is, de nem mindig, és ezt az esetet az állítás szabatosan kifejti.

Racionalis + racionalis = racionalis

Racionalis + irracionalis = irracionalis

Irrac. + irrac = barmely lehet

Rac*rac = rac

Rac*irrac=irrac

Irrac*irrac= barmely lehet

Osztas az ugyanolyan mint a szorzas

Itt a többség nem tudja értelmezni a magyar mondatokat?

"Azt tudom, hogy a gyök 2 irracionális, és a pi is. De ha van egy képlet, amiben mindekttő szerepel, akkor az lehet-e racionális?"

A "mindekttő" vagyis mindkettő itt azt jelenti, hogy olyan képletről van szó, amiben a gyök(2) ÉS a pi IS szerepel. Erre vonatkozik a kérdés. Hogy EZT a két irracionális számot tartalmazó képlet eredménye lehet-e racionális.

Nem arra, hogy bármilyen két (racionális vagy irracionális) számmal végzett művelet lehet-e racionális!

Lehetni lehet.

Pl:

(Gyok2 /gyok 2) + pi/pi =2