Hogy lehet bebizonyítani, hogy léteznek az irracionális számok? Pl. hogy létezik a négyzegyök kettő.

Az egész matematika önkényes axiomákra épül. Nem igazán értem hogy miért csodálkozik ezen a kérdező.

[link]

#29 Ennél jobban nem tudom megérteni a kérdésed, meg én sem vagyok matematikus. Meg kell nézni a racionális számok halmazát hogyan építjük fel. Abban egzakt módon le van írva milyen számhalmazbeli elemek léteznek, és amiről nem tesz állítást hogy létezik, akkor abban az axiómarendszerben nem is létezik. De bizonytalan vagyok hogy ezt Te elfogadod -e?

Alapvetően az axiómarendszerek axiómái egzisztenciális axiómák többnyire. Tehát állításokat tesznek (feltételek mellett) hogy mi létezik. Az axióma attól axióma, hogy hogy a többi állításból az nem következik, ilyen a Cantor-féle axióma, amely egy újabb dolog létezését állítja, de mivel axióma ez is független a többi axiómától. Ugyan olyan abszurd kérdés lenne, hogy "bizonyítható-e hogy nem létezik egy harmadik művelet ami értelmezve van a valós számokon, de az eredménye egy valós függvény". Talán még azt merem feltételezni, hogy ez is egy válasz lehet a kérdésedre: a FÜGGETLENSÉG. Hogy a racionális számok halmaza irracionális számokkal és anélkül is zárt egzakt matematikai fogalom, az irracionális számok létezése/nem létezése hidegen hagyja a racionális számok axiómarendszerét, attól független...már csak ezért is lehet a Cantor- axiómával kiegészíteni, és kapunk egy teljesen új világot, a valós számok halmazát.

#21:

Senki? Hát jó.

A jólrendezési tétel (vagy: Zermelo jólrendezési tétele) azt mondja ki, hogy ZFC-ben minden halmazon van egy jólrendezés. Ahol a jólrendezés azt jelenti, hogy olyan rendezés, ahol minden nemüres halmaznak van legkisebb (vagy legnagyobb, ez izomorf) eleme. [0,1]

> A racionális számok halmaza rendezhető, tehát Z. szerint van felette értelmezett jólrendezés,

A tételhez nem kell az, hogy a racionális számok halmaza rendezhető. A raionális számokon van egy jólrendezés a jólrendezési tétel (vagy a kiválasztási axióma) nélkül is: van a racionális számokból bijekció a természetes számok halmazába, ami jólrendezett.

Mondjuk legyen a bijekció az az, hogy az a/b alakú számokat csigavonalban bejárjuk, és minden racionális szám első előfordulását nézzük. A számok sorban 1/1, 0/1, -1/1, 2/-1, ... ...

Ez a bijekió megad egy rendezést a rac. számokon, ami jólrendezés (és különbözik a rac számok sima rendezésétől).

> azaz minden részhalmaznak van pontos felső korlátja. Mivel S részhalmaza Q-nak, ezért neki is van ilyenje,

Az előbbi jólrendezés szerint az S:={x\in Q|x^2<2} halmaz felső korlátja 1. (Vagyis hát alsó korlátja. De az ugyanaz, csak fordítva áll a jel)

> az pedig a halmaz definíciója miatt éppen 2 négyzetgyöke.

... nem, nem az.

[0] : [link]

[1] : [link]

@dq: fantörpikus. Tehát egy halmaznak, aminek vannak egynél nagyobb elemei, annak a felső korlátja egy. Ezt jól meggondoltad?

Amúgy pedig inkább ez: [link]