Hogyan lehet bebizonyítani, hogy ez a szám irracionális?

Szerintem joggal feltehetjük, hogy a szám irracionális. Első körben tudjuk, hogy ha az n szám racionális, akkor n^2 is, ennek megfelelően ha a négyzetéről be tudjuk látni, hogy irracionális, akkor az eredetiről is, hogy az.

Négyzetre emelés után: π^10/8 * cot^2(π/√2)

Értelemszerűen a /8 sok vizet nem zavar, így az kivehető. A többit innen passzolom.

Ezeket gyakran nehéz bizonyítani, én most nem is állok neki, de adok egy észrevételt, ami alapján minimum erősen valószínűsíthető, hogy irracionális (sőt, transzcendentális) a számod.

1) Egy transzcendentális szám (innentől hadd hívjam csak TR-nek) bármilyen nemnulla racionális hatványa TR. A π egy TR szám.

2) Egy TR szám és egy nemnulla algebrai szám szorzata TR.

Ebből a kettőből az következik, hogy ha az általad felírt szám véletlenül épp racionális (sőt, akár csak algebrai), akkor az egyben azt is jelenti, hogy bármilyen π^q-val szorozva viszont már biztosan TR.

Más szóval: a fenti kifejezés π^5, π^6, π^7, π^4, π^3, π^4.999, π^5.001, π^(138924/8488171) stb. változatai közül LEGFELJEBB egy lehet algebrai. Hogy te pont beletrafáltál volna-e a π^5-tel? Ezt már nem tudom cáfolni vagy bizonyítani :)