Milyen páratlan számok négyzetgyöke irracionális szám?

Ha a négyzetgyöke racionális, akkor van (pontosan egy) olyan p,q számpár, amikre igaz, hogy gyök(a)=q/p, ahol p és q egészek és relatív prímek.

ezt négyzetre emelve és átszorozva:

a*p^2=q^2

az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha q^2 osztható a-val, hiszen a*p^2 is osztható a-val. Ha viszont q osztható a-val, akkor q^2 osztható a^2-tel is, vagyis p is osztható a-val, ami lehetetlen, mert p és q relatív prímek. Tehát q^2 osztható a-val, de q nem. Ez pedig azt hiszem csakis akkor lehet, ha a négyzetszám, vagyis gyök(a) egész, vagyis az állításod igaz. De ezt az utolsó lépést most nem bizonyítom, mert fáradt vagyok.