Végtelenül sok irracionális szám létezik?

Az általad megadott képzési mód akkor is működik, ha nem nullával kezded, hanem bármilyen egész számmal, azaz pl 3,1010010001...

Mivel nincs legnagyobb egész szám, ezért nem lesz legnagyobb irracionális sem, tehát máris bizonyítottuk, hogy végtelen van már csak abból az egy fajtából is, amit te felvázoltál. És ennél még sokkal-sokkal több van.

Egy irracionális számot egy nullától különböző egész számmal megszorozva irracionális számot kapunk.

Bizonyítás:

Legyen x egy irracionális szám. Tételezzük fel, hogy egy egész számmal megszorozva racionális számot kapunk. Azaz:

x * n = p/q

(Mert ugye egy racionális szám attól az, hogy felírható p/q alakban, ahol p és q egész.)

Ekkor viszont ez kapjuk:

x = (p/q) /n = p / (q*n)

Mivel p, q és n is egész, így a jobb oldalon szereplő tört számlálója és nevezője is egész. Ergo x felírható lenne két egész szám hányadosaként, ergo x racionális szám lenne. Ez meg ellentmond annak a kiinduló feltételnek, hogy x egy irracionális szám.

Ergo egy irracionális számot bármilyen nullától különböző egésszel megszorozva irracionális számot kapunk.

Tehát ha csak egyetlen számról tudnánk, hogy irracionális, mondjuk legyen a √2 az, akkor csak ebből végtelen számú irracionális számot tudunk kreálni: 2*√2 , 3*√2 , 4*√2, stb… (Hiszen végtelen sok egész számunk van.)

Sőt, mondok még jobbat: több irracionális szám van, mint racionális.

(Valamelyik kérdéshez ennek is leírtam az értelmezését és a bizonyítását is…)

"Sőt, mondok jobbat; bármilyen "kicsi" intervallumot veszünk, végtelen sok irracionális szám lesz benne."

Ez igaz a racionális számokra is. :)