Hogy lehet bebizonyítani, hogy léteznek az irracionális számok? Pl. hogy létezik a négyzegyök kettő.

Az, hogy beírsz néhány jól hangzó fogalmat, még nem tesz téged hozzáértővé.

Egyébként nem a kiválasztási axióma kell, hanem (az egyébként vele ekvivalens) Zermelo jólrendezési tétele.

Vegyük az alábbi Dedekind-szeletet: S:={x\in Q|x^2<2}. A racionális számok halmaza rendezhető, tehát Z. szerint van felette értelmezett jólrendezés, azaz minden részhalmaznak van pontos felső korlátja. Mivel S részhalmaza Q-nak, ezért neki is van ilyenje, az pedig a halmaz definíciója miatt éppen 2 négyzetgyöke.

"dedekind-cut féle bizonyítás szerintem nem bizonyít"

Akkor itt van a kutya elásva. "szerinted". Miért is nem? A Dedekind -szeletek bizonyítottan a valós számok axiómarendszerével egy ekvivalens halmaz definíciója/megfogalmazása. És igenis vehetjük azoknak a számoknak a halmazát amelyek négyzete kisebb 2-nél. Illetve amelyek négyzete nagyobb/egyenlőek 2-nél. ==> Amely diszjunkt számpáros egyetlen számot képvisel a Dedekind-szeletek között melynek (a dedekind-szeleteken definiált műveletet tekintve) négyzete éppen a 2-es számot képviselő halmazpár.

Két dolgot kell már csak érteni, hogy jutunk el ekvivalenciarelációkon értelmezett kongruenciákon keresztül a természetes számokon át, az egészekig, onnan a racionális számokig és onnan dedekin-szeletekkel a valós számokig.

Más kérdés, hogy Te esetleg nem a Dedekind-szeletek felől szeretnéd látni a bizonyítást.

Egy. Az illeszkedési/geometriai tér egyenese és a valós számok megfeleltethetőek egymással. Kisiskolásoknak ez a valós számegyenes. Ez egy külön bizonyítás, ami levezethető a geometria Hilbert-féle axiómáiból és a valós számok axiómáiból így a geometrai bizonyítás máris nem geometriai is.

Kettő. A valós számok axiómáját kell nézni: A Cantor-féle axiómára lesz szükség, amely az az alapvető és a valós számokat - köztük az irracionális számokat - megteremtő állítása, hogy egymásba ágyazott végtelen intervallumnak van közös eleme - tehát végtelenül apróra szűkölő esetben is. Azaz egy intervallum sorozat amelynek alsó határsorozata monoton növő, mely sorozat elemeinek négyzete kisebb mint 2, illetve a felső határsorozat olyan monoton csökkenő sorozat melynek elemeinek négyzete nagyobb 2. Belátható, hogy egyetlen racionális számot sem tartalmaz a végtelen kicsire szűkülő intervallum közös része,az axióma miatt viszont ott van egy szám legalább, és belátható hogy ez egyértelmű is, a gyök2-nek nevezett irracionális.

TL,DR:

A Cantor-féle axióma - az a valós számoknak az axiómája - mely alapállításként foglalja magába illetve következik belőle, hogy irracionális szám létezik.

Tehát nem, nem lehet bizonyítani, ez egy alap állítás következménye.

(érdekesnek találom ezt a sok egymásmellé beszélést, jól esett magamnak is kibogozni) :D

"Kérem a továbbiakban csak matematikusok válaszoljanak, akik értenek a témához"

Először neked sem ártana érteni a matekhoz, kisöcsi