Hogy lehet bebizonyítani, hogy léteznek az irracionális számok? Pl. hogy létezik a négyzegyök kettő.

[link]

[link]

Emelt matek érettségin konkrét tétel a bizonyítás.

Hasonló módon bizonyítható, hogy pl. a √3 sem racionális.

Tételezzük fel, hogy √3 racionális, azaz felírható két relatív prím hányadosaként:

√3 = a/b

Ekkor:

3 = a²/b²

3b² = a²

Itt a² -nek 3-mal kell oszthatónak lennie, ergo a-nak is 3-mal oszthatónak kell lennie:

c := a/3

Így: a = 3c

a² = 9c²

De ezt visszaírva:

3b² = a²

3b² = 9c²

b² = 3c²

Ebből meg az következik, hogy b²-nek, így b-nek is 3-mal oszthatónak kell lennie.

Az, hogy a és b is osztható 3-mal, az ellentmond a kiinduló feltételnek, miszerint relatív prímek.

Ugyanilyen módon igazolható, hogy bármely természetes szám négyzetgyöke vagy egész (a négyzetszámoké), vagy irracionális.

~ ~ ~

Vagy pl. vegyük log₂3-at. Tételezzük fel, hogy felírható két egész hányadosaként (azaz racionális):

log₂3 = a/b

Ekkor:

2^(a/b) = 3

(2^(a/b))^b = 3^b

2^a = 3^b

a>0 esetén a baloldal páros lesz, hiszen a prímtényezői között van legalább egy 2-es. A jobb oldal meg páratlan lesz, mert a prímtényezői között nincs 2-es. Ennek az egyenletnek egyetlen megoldása van, amiben a és b egész: a=0 és b=0. De ekkor szegény log₂3 = 0/0 lenne.

Ugyanígy bármilyen logₐb szám is irracionális lesz, ahol a és b relatív prímek.

~ ~ ~

Innen aztán lehet tovább menni, igazolni, hogy minden ∛n is irracionális, ahol n nem köbszám. Lehet igazolni, hogy egy racionális és egy irracionális szám összege, különbsége, szorzata, hányadosa is irracionális stb. stb…

#2 > Nem érted! Amit linkeltél csak annyit bizonyít, hogy HA létezik akkor nem lehet racionális.

A √2 létezik. Az a szám, aminek a négyzete pontosan 2-vel egyenlő.

(141/100)² = 141²/100² = 19 881 / 100 000 = 1,9881 < 2

(142/100)² = 142²/100² = 20 164 / 100 000 = 2,0164 > 2

Két racionális szám között mindig van egy köztes szám, ami azonos távolságra van a két számtól.

141/100 = 282/200

142/100 = 284/200

A 283/200 tehát a 141/100 és a 142/100 átlaga lesz, és mint ilyen a két szám közé fog esni.

Ha nem lennének irracionális számok, akkor előbb-utóbb el kellene jutni addig, hogy lesz egy a/b számunk, aminek a négyzete nem kisebb, nem nagyobb, hanem pontosan egyenlő kettővel. #1 bizonyítása azt mutatja, hogy nincs, nem lehet ilyen racionális szám.

Akkor definiálható egy olyan szám, aminek a négyzete pontosan 2-vel egyenlő, de ez a szám nem lehet racionális szám.

Ilyen alapon a racionális számok léte is megkérdőjelezhető, mert miért kellene olyan számnak lennie, aminek a 7-szerese 3 lenne? Hiszen ha csak egész számok vannak, akkor nincs olyan szám, aminek a 7-szerese 3. Meg a negatív számok léte is megkérdőjelezhető, mert miért kellene lennie olyan számnak, amihez 8-at hozzáadva 5-öt kapunk? Ha nincsenek negatív számok, akkor nincs olyan szám, ami 8-cal növelve 5-öt adni. Miért pont az irracionális lett kipécézve?

A matematika eleve absztrakt fogalmakkal dolgozik. Definiál, axiómákat állít fel és ezekből igyekszik összefüggéseket feltárni. A √2 azért létezik, mert jól definiáltuk azt, hogy milyen értéket reprezentál ez a szám. Pont úgy, ahogy a 3/7 jelentését vagy a -3 jelentését is meghatároztuk. Meg pont úgy léteznek, ahogy a komplex számok vagy a kvaterniók is. Ezen kívül a √2 azért is létezik pluszban – bár ez nem kritérium egy matematikai fogalommal szemben –, mert amúgy a valós világban is reprezentál egy mennyiséget, egy egységoldalú négyzet átlójának a hosszát.

"Hibás a gondolatmeneted, mert abból indulsz ki, hogy léteznie kell olyan számnak aminek a négyzete egyenlő 2."

Kellenie nem kell, ám mivel létezik olyan szám, hogy kettő, és létezik olyan művelet, hogy gyökvonás, innen tudjuk, hogy létezik ilyen szám.

Vagy a te gondolatmeneted szerint mégis hogyan bizonyítanád, hogy létezik bármelyik szám is?