Hogy lehet bebizonyítani, hogy léteznek az irracionális számok? Pl. hogy létezik a négyzegyök kettő.

Jo hat ha matematikus nyelven akarsz egy valaszt akkor:

A negativ szamok azert “leteznek” mert sok hasznos miveletet kitalaltunk amig csak a termeszetes szanokat ismertuk, de nehany ezek kozul (pl kivonas) kivezetett a termeszetes szamok halmazabol. Oh milyen hasznos lenne, ha ezeket a muveleteket megkozesek nelkul tudnank hasznalni - sohajtott fel az egyszeri matematikus es konstrualt olyam szamokat, amikkel a kivonas nem vezet ki a szamhalmazbol es igy megalkotta az egesz szamok foglamat (beleertve a negativ szamokat) es megalkotta a csoport nevu strukturat. De aztan latta a matematikus, hogy a szorzas (ismetelt osszeadas) is milyen hasznos de annak az inverze meg kifejezet az egesz szamokbol, igy megalkottak a racionalis szamok fogalmat amivel a szorzas is csoportot alkot, az osszeadassal kozosen meg gyurut.

A fenti peldaban arra akarok ravilagitani hogy a szamfoglamakat bizonyos axiomak elfogadasa uran valoban mi alkotjuk, mert ha megkrdezed az egyszeri parasztot hogy ha 2 tyukbol elveszel 5 tyukot, akkor hany tyukja marad, biztosnan hulyenek fog nezni.

Ami peldaul a dedekind- szeleteket illeti, az valoban nem bizonyit, hanem definial. Ez szerintem elegge nagy kulonbseg. Ahogy en szeretek gondolni a valos szam definiciora az az, hogy egy felulrol krolatos halmazban szeretnenk, ha a lehkisebb korlat midig benne lenne. Peldaul ha a racionalis szamokat vesszuk es azokbol azt a halmazt ahol az elemek negyzete nem nagyobb 2-nel, akkor belathato hogy nincs racionalis legkisebb felso korlat. Ha szeretnenk hogy a szamfogalmunk ilyen hazsnos tulajdonsaggal rendelkezzen akkor meg kell alkotnunk ezeket a szamomat, amikor a racionalis szamok kozotti teret kitoltik (avagy jelen esetben: legjobb felso korlatot adnak), es az igy kapott szamfogalmat elnevezzuk valos szamoknak.

Ajanlom figyelmedbe a wikipedia alabbi mondatait:

The existence of such a structure is a theorem, which is proved by constructing such a structure.

In mathematics, Dedekind cuts are а method of construction of the real numbers from the rational numbers.

Kérdező!

Te azt hiszed, hogy a matematika leíró tudomány, mint a fizika vagy a biológia, vagy a kémia, amik a valóságot írják le egyre jobb és pontosabb modellekkel.

A matematika nem ilyen. Tény, hogy volt a matematika fejlődésének ilyen szakasza is, pl. a komplex számokat is úgy "fedezték fel", hogy nem lehetett nélkülük harmadfokú egyenletre olyan megoldóképletet csinálni, ami mindhárom valós(!!!) gyököt biztosan kiadja.

Ellenben már vagy 200 éve a matematika nem leíró tudomány. Egy néhány axiómán alapuló rendszer, amiben újabb és újabb dolgokat hozunk létre (definiálunk) és aztán összefüggéseket ismerünk fel köztük. Ha úgy tetszik, a matematika egy fiktív szellemi onánia, aminek vagy egy pici, de nem jelentéktelen része, amit használunk gyakorlati célokra is.

Kérdező, ha erre az egy dologra tudsz válszolni, akkor mi is jobban tudunk érdemben segíteni; szerinted mi a megoldása az

x * x = 2

egyenletnek?

#17

Miért ne lenne megoldása? Üsd be akár a legegyszerűbb számológépekbe vagy számold ki te magad!

"#14 Nem hiszek ilyet."

de ezt hiszed. max. még nem jöttél rá.

azt kéred tőlünk, hogy bizonyítsuk be az irracionális számok létezését.

ez önmagában azt feltételezi, hogy az irracionális számok (már, ha léteznek egyáltalán) olyan objektumok, amik a amúgy léteznek és a matematika képes (vagy nem képes) bizonyítani a létezésüket.

csakhogy ez így hülyeség.

azért hülyeség, mert az irracionális számokat maga a matematika hozza létre, azért "léteznek" mert a matematika definiálja őket. aztán dolgozik velük.

a való világban egyáltalán nem biztos, hogy vannak irracionális számok, annyira nem, hogy egyes elméleti fizikusok szerint a világ kvantált, ami konkrétan azt jelenti, hogy minden mennyiség csak egy elemi alapmennyiség egész számú többszöröse lehet.