Végtelen számú halhatatlan a túlvilágon. Mit gondolsz az alábbi matematikai paradoxonról?
Van két univerzum. Mindkettőben van végtelen számú halhatatlan lény.
Az „A” univerzumban az első napon minden lény a mennyországban van – a számára legkedvezőbb körülmények között –, de minden nap pontosan egy – véletlenszerűen kiválasztott – lény átkerül a pokolba, és örökre ott is marad.
A „B” univerzumban az első napot minden lény a pokolban kezdi, de minden nap pontosan egy lény átkerül a mennyországba és örökre ott is marad.
Megjegyzések:
- Tegyük félre azt a problémakört, hogy hogyan lehet egyenletes eloszlású véletlenszámot generálni végtelen intervallumon. Vehetjük úgy is, hogy minden lénynek eleve van egy egyedi sorszáma, ami egy természetes szám, és ebben a sorrendben kerülnek át a mennyországból a pokolba illetve a pokolból a mennyországba.
- A halhatatlanok ténylegesen halhatatlanok, sem önmaguk, sem más körülmény nem képes véget vetni az életüknek. Minden lény valóban végtelen hosszú ideig létezik, és azt ébren, normális tudatállapotban éli meg.
- A kérdés matematikai, a „hogy férnének má' el?” és a „mi van, ha az univerzum kora véges” jellegű kibúvóknak nem osztottunk lapot.
- Korrektebbül megfogalmazva a lények száma mindkét univerzumban ℵ₀ számosságú, és a napok is jellegüknél fogva ℵ₀ számosságúak.
A kérdés: Te melyik univerzumban kezdenéd az első napodat és milyen megfontolások mentén választottad éppen azt?
válasza:"Tegyük félre azt a problémakört, hogy hogyan lehet egyenletes eloszlású véletlenszámot generálni végtelen intervallumon."
Pusztán ez az előfeltétel is már önmagában értelmetlenné minősíti a feladványt - ez a megoldás!
válasza:"Ha "gyárilag" ott szerepel az összes szám a számegyenesen, akkor (szerinted is) minden számra egyszer rá fog ugrani," "Nem érzed ellentmondásosnak?"
A végtelennel való számolás mindig ellentmondásos. Pl. a páros számok ugyanannyian vannak, mint a páratlanok. Pontosabban ugyanannyi a számosságuk.
A bolhával kapcsolatban, még ha rajta is van az összes szám a számegyenesen, akkor is nyilván kell tartanunk, hogy melyikre ugrott már rá és melyikre nem. Természetesen nem tudjuk egyből beírni a nyilvántartásunkba azokat a számokat, amikre még nem ugrott rá. Mert túl sok van.
Ha fokozatosan bővítjük a nyilvántartást, akkor a módszeren múlik, hogy a végtelenhez közelítve eltünnek-e a taposatlan számok vagy sem. Hogy a határérték az lesz-e, hogy a bolha mindegyikre ráugrott, vagy az, hogy egyre nagyobb az elmaradása.
válasza:"A végtelennel való számolás mindig ellentmondásos."
Öhhm, nem... Nem mindig.
"Pl. a páros számok ugyanannyian vannak, mint a páratlanok. Pontosabban ugyanannyi a számosságuk."
Végtelen számosságoknál azt értjük egyenlőség alatt, hogy kölcsönösen egyértelműen meg tudjuk-e feleltetni egymásnak a halmazok elemeit. Van olyan felosztás, amelyikben úgy tűnhet, hogy párosból van több, meg olyan is, amelyikben páratlanból, de ez mind nem számít, mert egyenlőséget is meg lehet mutatni, és csak erre van szükségünk.
"Ha fokozatosan bővítjük a nyilvántartást, akkor a módszeren múlik, hogy a végtelenhez közelítve eltünnek-e a taposatlan számok vagy sem."
Megadtuk a módszert, ami az volt, hogy az egész számokon sorban halad, tehát nem lesz kimaradás. Mi több; bármelyik számról meg tudjuk mondani, hogy hányadik másodpercben fog eljutni; az n. egész szám eléréséhez pontosan (n-1) másodpercre van szüksége, hogyha a bolha az 1-ről indul, függetlenül attól, hogy te hogyan húzogatsz be új számokat.
"Hogy a határérték az lesz-e, hogy a bolha mindegyikre ráugrott, vagy az, hogy egyre nagyobb az elmaradása."
Ez abban az esetben lenne igaz, hogyha a bolhának nem végtelen ideje lenne.
Mondok jobbat; csináljuk azt, hogy amikor ugrik egyet a bolha, gyorsan rajzolunk egy másik szám(fél)egyenest az eredetivel párhuzamosan. Ebben az esetben is létezik a bolhának jó stratégiája, hogy az összes számegyenes összes pozitív egész számán végigugráljon végtelen idő alatt. És itt azért "nagyságrendekkel több" számot kell végigjárnia, mintha csak kettesével húzgálnánk be új számokat az eredeti számegyenesen.
Abba a hibába estél, hogy véges aggyal gondolkoztál.
#16 > Tudhatnád, hogy ℵ₀ számosságú halmaz elemeit ha bármelyik bijektív leképezéssel leképezzük a természetes számok halmazára akkor képelemenként a legkisebbtől kezdve a rákövetkezővel folytatva és továbbra is mindig a rákövetkezővel folytatva minden elem véges lépés alatt sorra kerül.
Itt jön be az a fránya időbeliség. Mert mikor két halmaz elemei között bijektív leképezést állítunk fel, akkor az kicsit olyan, mint mikor a tanítónéni az iskolában elkiáltja magát, hogy álljatok párba. Mindenki párba áll és indulhat a menet. De itt egyenként kell VÉGIGmenni és összepárosítani a gyerekeket. Nem elég megmondani, hogy hogyan álljanak párba, ténylegesen is párba kell állítani őket. VÉGÜL minden gyereknek meglesz a párja, de mivel ehhez végtelen idő kell, a végtelen meg attól végtelen, hogy nincs vége, így nincs VÉGÜL és nem lehet VÉGIGmenni. Amíg viszont nem mentünk végig, addig – ennél az újabb analógiánál maradva – végtelenszer több még össze nem párosított gyerek lesz.
#22 > Én azt mondom, hogy a válasz abban rejlik, hogy milyen kiválasztási módszert választunk…
Igen, lehetne olyan kiválasztási módszert is kreálni, amiben – az előző problematikán túl – biztos, hogy végtelenszer több olyan ember lesz, akire soha nem kerülhet rá a sor. (Mondjuk a négyzetszámokkal indulunk el, aminek a végére kellene érni – ami a végtelen számuk miatt nem lehetséges – mielőtt a többi szám sorra jöhetne, márpedig végtelenszer több nemnégyzetszám van, mint négyzetszám.)
Nyilván érdekes kitérő ez is, de a kiválasztással szemben hozhatunk egy olyan kritériumot, hogy bármely sorszámú ember azonos eséllyel kerül kisorsolásra. Vagy maradhatunk az eredeti koncepciónál, mindenkinek van egy eleve adott sorszáma (amiről mondjuk nem is tud). Bár itt felmerül egy újabb érdekes kérdés. De erről majd lentebb…
#22 > Ha nem bánjátok, én emelném a tétet; mi történik olyankor, hogyha minden nap *végtelen* sok ember kerül át egyik helyről a másikra?
Egyrészt elmész te a fenébe. :-) Másrészt roppant mód tetszik az ötlet. Anno mikor ez a paradoxon baráti körben előjött, akkor nem volt ilyen felvetés, tetszeni fog nekik az ötlet. Harmadrészt meg szerintem ha garantált, hogy végtelenszer több ember marad, mint amennyi átkerül, akkor nem változtat a helyzeten.
#24 @krwkco > Tegyük fel, hogy a számegyenesen kezdetben csak véges számú egészszám van kis rovátkával bejelölve. Amikor a bolha ugrik egyet, bejelölünk még kettő számot.
No igen, itt a számosság nem minden, az csak azt garantálja, hogy két halmaz között *lehetséges* bijektív leképezést felírni. Viszont itt a dolog egy kicsit egyszerűbb, bármelyik lépés után a még megugrandó rovátkák száma a már megugrottakhoz képest:
lim{n→∞} 2n/n = 2
De itt eleve
(∀n∈ℕ⁺) 2n/n = 2
A probléma az én kérdésemnél az, hogy n nap esetén a ki nem sorsolt emberek száma:
(∀n∈ℕ⁺) n/(∞-n) = 0
De:
n=∞ esetén elvileg ∞/0 lenne (mindenki átkerült az egyik helyről a másikra)
Ez némileg rafináltabb.
#29 > Ha "gyárilag" ott szerepel az összes szám a számegyenesen, akkor (szerinted is) minden számra egyszer rá fog ugrani, de ha mi menet közben húzgáljuk be, akkor meg nem?
> Nem érzed ellentmondásosnak?
Itt jön elő, amit a válaszom elején írtam. Én – ha nem is tudom egzakt módon megfogalmazni – érezni vélek különbséget aközött, hogy két végtelen halmaz elemei között bijektív leképezést írok fel, meg aközött, hogy ténylegesen végig is kell mennem és egyesével összepárosítani.
Illetve részben kapcsolódik ide az, amin lentebb, az elválasztó vonal alatt fogok rágódni kicsit.
#30 > Az se biztos, hogy ha valaki a B-ben kezd, majd átkerül A-ba, ne kerülhetne megint vissza B-be.
A kérdés ezt a lehetőséget kizárja az „és örökre ott is marad” kitétellel. Bár mivel végtelen időről van szó, szerencsésebb lett volna a „és nem kerülhet vissza” megfogalmazást választanom.
~ ~ ~
#31 > "Tegyük félre azt a problémakört, hogy hogyan lehet egyenletes eloszlású véletlenszámot generálni végtelen intervallumon."
> Pusztán ez az előfeltétel is már önmagában értelmetlenné minősíti a feladványt - ez a megoldás!
(+ már előtte is pedzegettük a kiválasztás kérdését)
Érdekes aspektus ez is. Mert ugye bármilyen is a kiválasztás algoritmusa, végtére is egy nap pontosan egy ember lesz kisorsolva, nem több, nem kevesebb. Az „A” univerzumban a pokol kapujában ott áll az ördög, és csak annyit lát, hogy minden nap jön egy új ember. Bánja is ő, hogy hogyan választották ki és hogyan nem, ki fia-borja az illető, ő csak annyit lát, hogy minden nap pontosan egy ember érkezik. Az ő szemszögéből nézve a kiválasztás módja maximum a sorrenden változtat – ami számára lényegtelen –, a mennyiségeken, a pokolban lévő „lelkek” számán viszont elvileg nem. Öt nap után öt ember lesz a pokolban, száz nap után száz, végtelen idő alatt meg végtelen számú kerül hozzá.
Nyilván értem – és ezelőtt is értettem – azt, amit #22 írt, a válasza második felében, ha a páros sorszámúakkal kezdjük az áthelyezést, akkor mivel páros számból végtelen van, így nincs vége az áthelyezésnek, a páratlan sorszámúak végtelen idő elteltével is bizonyosan a kiinduló helyen vannak. De a fenti megfontolás alapján – bár eddig meggyőződésem volt, hogy értem a végtelen fogalmát – mégsem teljesen plasztikus az számomra, hogy a sorrendből hogy és mikor válik kvázi mennyiségi tényező (hány ember maradt az eredeti helyén).
válasza: válasza:@22:12 #22
"Látjuk, hogy már kontinuum számosság esetén sem lehet eldönteni, hogy "vége" lesz-e a folyamatnak vagy sem, így megszámlálható végtelenben is valami ilyesminek kell lennie."
Korábban kifejtettem @13:30 #16 válaszban ami a kérdező eredeti kérdésére vonatkozik.
"egy bolha ugrál egy számegyenesen, a pozitív egész számokon, mondjuk 1 szám/s sebességgel, egymás után. Ha végtelen idő áll rendelkezésére, akkor rá tud-e ugrani az összes pozitív egész számra? "[...]
Minden számra igaz, hogy véges ugrás alatt eljut, méghozzá az ugrások száma maga a szám értéke ( például a 6-ra 6 ugrással az 1000-re 1000 ugrással stb ).
"Én azt mondom, hogy a válasz abban rejlik, hogy milyen kiválasztási módszert választunk; ha elfogadjuk azt, hogy minden ember kap egy képzeletbeli sorszámot, és egyesével -ahogy a bolha is lépkedett- aszerint választjuk ki az embereket, akkor mindenki sorra fog kerülni. "
A kérdező kérdésében idevonatkozó rész mi ? Ez : "minden lénynek eleve van egy egyedi sorszáma, ami egy természetes szám, és ebben a sorrendben kerülnek át a mennyországból a pokolba illetve a pokolból a mennyországba"
"De van olyan kiválasztási módszer is, amivel végtelen sok embert ki tudunk választani, mégis marad végtelen sok ember, akik örökre az adott helyen maradnak"[...]
Nem bonyolítottam túl olyan esetekkel, csak ami a kérdésben van, de ettől még igaz, hogy létezik ilyen kiválasztás is.
"Ha azt mondjuk, hogy a másik világba kerülés olyan, mint a lottóhúzás, vagyis akinek a számát kihúzzák, az megy át, akkor is arra az eredményre jutunk, hogy nincs rá garancia, hogy egyszer mindenki sorra kerül."
Ilyen kiválasztás meg nem létezik. Azaz ilyen matematikai leképezés nem létezik, nincs olyan kiválasztás ami a természetes számok teljes intervallumából választ az egyenletességi hipotézisnek megfelelően.
"Ha nem bánjátok, én emelném a tétet; mi történik olyankor, hogyha minden nap *végtelen* sok ember kerül át egyik helyről a másikra? Akkor hogyan változik a "valószínűség"?"
Ott is a kiválasztástól függ. Ha például a páratlanok maradnak örökre, ez után a párosakkal meg "akárhogy" "trükközök" akkor lesznek akik nem kerülnek át sosem. Ha viszont a megmaradottak közül minden nap minden másodikat engedjük át akkor is örökké fog tartani, de nem lesz olyan aki nem kerül át sosem. Illetve lehet olyan eset is hogy véges idő alatt átkerül mindenki, triviálisan első nap mindenki és kész.
@krwkco @22:36
Összemosod a fogalmakat. Ilyenekkel hogy minden lépésnél hosszabbítjuk a számegyenest vagy hogy meggebed a bolha. A számegyenes az időtlen, statikus, állapotmentes matematikai konstrukció. A bolha itt egy absztació, nincsennek ilyen tulajdonságai hogy elfárad stb.
@23:05 #31
"Pusztán ez az előfeltétel is már önmagában értelmetlenné minősíti a feladványt - ez a megoldás!"
A kiragadott részre még igaz is, de nem tilos tovább olvasni : "Vehetjük úgy is, hogy minden lénynek eleve van egy egyedi sorszáma, ami egy természetes szám, és ebben a sorrendben kerülnek át"[...]
"Természetesen nem tudjuk egyből beírni a nyilvántartásunkba azokat a számokat, amikre még nem ugrott rá. Mert túl sok van."
"Itt jön be az a fránya időbeliség. Mert mikor két halmaz elemei között bijektív leképezést állítunk fel, akkor az kicsit olyan, mint mikor a tanítónéni az iskolában elkiáltja magát, hogy álljatok párba."[...]
Az hogy egy adott hozzászóló összekeveri még hagyján, de most te is összekevered kérdező a matematika szellemi világát a fizikával. Pont te írtad : @13:10 #15 [...]"A matematika pont arról szól, hogy elvonatkoztatunk egy probléma konkrét sajátosságoktól, és a dolog lényegi részét ragadjuk meg"[...]
"Nyilván érdekes kitérő ez is, de a kiválasztással szemben hozhatunk egy olyan kritériumot, hogy bármely sorszámú ember azonos eséllyel kerül kisorsolásra."
Ilyen kiválasztás matematikailag nincs amit írtam is.
"Itt jön elő, amit a válaszom elején írtam. Én – ha nem is tudom egzakt módon megfogalmazni – érezni vélek különbséget aközött, hogy két végtelen halmaz elemei között bijektív leképezést írok fel, meg aközött, hogy ténylegesen végig is kell mennem és egyesével összepárosítani."
Az adott bijektív leképezés létezik ami egy matemaikai függvény, egy matematikai konstrukció. Egyesével végigmenni rajta kérdésköre matematikai értelemben a Turing-gépek témaköre. Ha bármennyire nagy számosságú, de véges akkor értelem szerűen végig lehet rajta menni Turing-géppel. Ha megszámlálhatóan végtelen akkor végigmenni rajta ugyan nem lehet, de bármely elemére megmondható hogy mikor kerül sorra, lesz egy sorszáma minden elemnek ami egy természetes szám. Ha végtelen de nem megszámlálhatóan akkor még ilyen sorszáma sem lehetséges minden elemnek azaz ekkor nem létezik bijetív leképezés e között és a természetes számok között.
válasza: válasza:"A végtelent csak a véges állapotok határértékeként lehet értelmesen kezelni. Ez már Akhilleusz és a teknős esetéből is kiderült. :-)"
Ez csak részben igaz. Határértékszámításnál, integrálásnál, deriválásnál, Turing-gépeknél igaz, de mondjuk halmazelméletnél csak részben igaz.
válasza:Nem volt türelmem végigolvasni minden választ részletesen, de a többség az egész számok halmazával jön, mint a kérdező is.
És ez sajnos komoly baj.
A halmazok (mert ez egy halmaz, elemei az emberek) sokan vannak, még számosság tekintetében is. És sajnálatos módon már a kontinuum számosság sem megszámlálhetó. Másképpen: nem sorbarakható. Még másképpen: nem indexálható. Vagyis nincs olyan, hogy az emberek sorban mennek át egyikből a másikba. Ha minden sorszámmal ellátott ember átkerül a másik halmazba, és ezt az átkerülést is indexáljuk, akkor az összes létező átkerülés után még mindig sokkal több van az eredeti helyén. Annyira sokkal, hogy meg se lehet számolni őket, miközben ezt az átkerültek esetén megtehetjük.
Igen, az értékrend, a szemlélet nem kivehető a gondolatmenetből, pusztán azért, mert emberek vagyunk, szemlélet nélkül nincs ember se. De mégse ez számít, hanem az, hogy meg kellene válaszolni a következőt.
Ha egy halmaz tetszőleges (nem megszámlálható) számosságú elemet tartalmaz, továbbá ha onnan rendszeres időközönként kikerül egy elem, akkor egy konkrét elem több, vagy kevesebb időt tölt eredeti helyén a másik helyhez képest?
Itt két fogalom van. Egyfelől az elemek száma (számossága), másfelől az átkerülések sebessége (valójában nem ez, hanem az idő sűrűsége, más szavakkal, az átkerülési időközök mekkora számosságuak az időhalmazon). Az első fogalom rendben van, meglett mondva, hogy a halmazban tetszőleges számosságú ember van. A másodikkal azonban baj van, mert nem lett megmondva az időközökből mint elemből álló időhalmaz milyen számosságú az előbbihez képest. Ha ugyanis kisebb, akkor biztos esemény, hogy átkerülök. Ha viszont nagyobb, akkor arra, hogy konkrétan velem mi lesz, semmi se mondható (mégpedig elvileg nem), az viszont mondható, hogy létezik elem, amelyre biztos esemény, hogy nem kerül át. Ez ilyen végtelen halmazokra bizonyítható, sajnos meglehetősen hosszadalmasan és elvontan. Nem is vállalkoznék rá, hogy mondjuk pár héten belül emailban valakinek elküldjem.
válasza:"...a többség az egész számok halmazával jön, mint a kérdező is.
És ez sajnos komoly baj."
Tekintve, hogy az emberek megszámlálhatóan végtelennyien vannak, ezért teljesen jogos, hogy az egész számok halmazával jövünk.
Ha azt mondjuk, hogy megszámlálhatóan végtelennyien vannak, akkor okafogyottá válik a feladat, mivel abban az esetben egyesével haladva az embereken biztosan lesznek végtelen sokan, akik nem kerülnek át a másik helyre (mivelhogy a megszámlálhatatlan végtelen halmaz elemei SEMMILYEN formában nem rendezhetőek, ahogyan azt írtad is).
"Ha minden sorszámmal ellátott ember átkerül a másik halmazba, és ezt az átkerülést is indexáljuk, akkor az összes létező átkerülés után még mindig sokkal több van az eredeti helyén. Annyira sokkal, hogy meg se lehet számolni őket, miközben ezt az átkerültek esetén megtehetjük."
Az átkerült embereket VÉGES IDŐBEN tudjuk listázni. Például megnézed, hogy 10^10^10^10^10^10^10^10^10 év eltelte után kik kerültek át a másik világba. De ez akkor is egy véges szám lesz, ha az agyunk nem tudja ennek az értékét felfogni.
A kulcsszó a VÉGTELEN. Ennyi idő alatt van arra lehetőség, hogy minden ember egyszer átkerüljön, de az is előfordulhat, hogy végtelen sokan maradnak, akik nem tudnak átkerülni a másik világba, és a kiválasztásnak létezhet egy olyan metódusa is, ami alapján véges sok ember biztosan nem kerül át soha a másik helyre (és ez nem jelenti azt, hogy *végtelen idő* elteltével csak ők maradnak a másik világban), csak azt, hogy mindenki más egyszer át fog jutni.
Kapcsolódó kérdések:
Minden jog fenntartva © 2024, www.gyakorikerdesek.hu
GYIK | Szabályzat | Jogi nyilatkozat | Adatvédelem | Cookie beállítások | WebMinute Kft. | Facebook | Kapcsolat: info(kukac)gyakorikerdesek.hu
Ha kifogással szeretne élni valamely tartalommal kapcsolatban, kérjük jelezze e-mailes elérhetőségünkön!